ГДЗ 10-11 Класс Номер 9.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить с помощью формул приведения:

а) $\cos 630^\circ — \sin 1470^\circ — \operatorname{ctg} 1125^\circ =$

$= \cos(2 \cdot 360^\circ — 90^\circ) — \sin(4 \cdot 360^\circ + 30^\circ) — \operatorname{ctg}(6 \cdot 180^\circ + 45^\circ) =$

$= \cos(-90^\circ) — \sin 30^\circ — \operatorname{ctg} 45^\circ = \cos 90^\circ — \sin 30^\circ — \operatorname{ctg} 45^\circ =$

$= 0 — \frac{1}{2} — 1 = -0,5 — 1 = -1,5;$

Ответ: $-1,5$.

б) $\sin(-7\pi) + 2 \cos \frac{31\pi}{3} — \operatorname{tg} \frac{7\pi}{4} =$

$= \sin(8\pi — 7\pi) + 2 \cos\left(10\pi + \frac{\pi}{3}\right) — \operatorname{tg}\left(2\pi — \frac{\pi}{4}\right) =$

$= \sin \pi + 2 \cos \frac{\pi}{3} + \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 0 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 1 + 1 = 2;$

Ответ: $2$.

в) $\operatorname{tg} 1800^\circ — \sin 495^\circ + \cos 945^\circ =$

$= \operatorname{tg}(10 \cdot 180^\circ + 0) — \sin(360^\circ + 135^\circ) + \cos(2 \cdot 360^\circ + 225^\circ) =$

$= \operatorname{tg} 0 — \sin 135^\circ + \cos 225^\circ = -\sin(180^\circ — 45^\circ) + \cos(270^\circ — 45^\circ) =$

$= -\sin 45^\circ — \cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2};$

Ответ: $-\sqrt{2}$.

г) $\cos(-9\pi) + 2 \sin\left(-\frac{49\pi}{6}\right) — \operatorname{ctg}\left(-\frac{21\pi}{4}\right) =$

$= \cos(10\pi — 9\pi) + 2 \sin\left(-10\pi + \frac{11\pi}{6}\right) — \operatorname{ctg}\left(-6\pi + \frac{3\pi}{4}\right) =$

$= \cos \pi + 2 \sin \frac{11\pi}{6} — \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} = \cos \pi + 2 \sin\left(2\pi — \frac{\pi}{6}\right) — \operatorname{ctg}\left(\pi — \frac{\pi}{4}\right) =$

$= \cos \pi — 2 \sin \frac{\pi}{6} + \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = -1 — 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = -1;$

Ответ: $-1$.

Везде используем:

• периодичность:
  $\sin(\alpha+2\pi k)=\sin\alpha,\ \cos(\alpha+2\pi k)=\cos\alpha,\ \tan(\alpha+\pi k)=\tan\alpha,\ \cot(\alpha+\pi k)=\cot\alpha$;
• чётность/нечётность:
  $\cos(-\alpha)=\cos\alpha$ (чётная), $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha,\ \tan(-\alpha)=-\tan\alpha,\ \cot(-\alpha)=-\cot\alpha$ (нечётные);
• значения на «табличных» углах: $30^\circ,45^\circ,60^\circ$ и пр.;
• знаки по четвертям и формулы приведения вида $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$, $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$ и т.п.

a) $\ \cos 630^\circ-\sin 1470^\circ-\operatorname{ctg}1125^\circ$

Приводим углы к основным:

• $630^\circ=360^\circ+270^\circ\Rightarrow \cos630^\circ=\cos270^\circ=0$.
• $1470^\circ=4\cdot360^\circ+30^\circ\Rightarrow \sin1470^\circ=\sin30^\circ=\tfrac12$.
• $\operatorname{ctg}1125^\circ= \operatorname{ctg}(6\cdot180^\circ+45^\circ)=\operatorname{ctg}45^\circ=1$ (период $\pi=180^\circ$).

Считаем:

$$0-\frac12-1=-\frac32=-1{,}5.$$

Ответ: $-\dfrac32$ (или $-1{,}5$).

б) $\ \sin(-7\pi)+2\cos\frac{31\pi}{3}-\tan\frac{7\pi}{4}$

Нормализуем:

• $\sin(-7\pi)= -\sin(7\pi)=0$ (кратный $\pi$).
• $\frac{31\pi}{3}=10\pi+\frac{\pi}{3}\Rightarrow \cos\frac{31\pi}{3}=\cos\frac{\pi}{3}=\tfrac12$ (период $2\pi$).
• $\tan\frac{7\pi}{4}=\tan\!\left(2\pi-\frac{\pi}{4}\right)=-\tan\frac{\pi}{4}=-1$ (или помнить, что $\tan 315^\circ=-1$).

Подставляем:

$$0+2\cdot\frac12-(-1)=1+1=2.$$

Ответ: $2$.

в) $\ \tan 1800^\circ-\sin 495^\circ+\cos 945^\circ$

Нормализуем:

• $\tan 1800^\circ=\tan(10\cdot180^\circ)=\tan0^\circ=0$ (период $180^\circ$).
• $495^\circ=360^\circ+135^\circ\Rightarrow \sin495^\circ=\sin135^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$.
• $945^\circ=720^\circ+225^\circ\Rightarrow \cos945^\circ=\cos225^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}$.

Собираем:

$$0-\frac{\sqrt2}{2}+ \left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\sqrt2.$$

Ответ: $-\sqrt2$.

г) $\ \cos(-9\pi)+2\sin\!\left(-\frac{49\pi}{6}\right)-\cot\!\left(-\frac{21\pi}{4}\right)$

Приведение и знаки:

• $\cos(-9\pi)=\cos(9\pi)=-1$ (чётность косинуса; $9\pi=(2\cdot4+1)\pi$).
• $\sin\!\left(-\frac{49\pi}{6}\right)=-\sin\!\left(\frac{49\pi}{6}\right)$.
  $\frac{49\pi}{6}=2\pi+\frac{\pi}{6}\Rightarrow \sin\frac{49\pi}{6}=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12$.
  Значит, $\sin\!\left(-\frac{49\pi}{6}\right)=-\frac12$.
• $\cot\!\left(-\frac{21\pi}{4}\right)=-\cot\!\left(\frac{21\pi}{4}\right)$.
  $\frac{21\pi}{4}=5\pi+\frac{\pi}{4}$. С учётом периода $\pi$: $\cot\frac{21\pi}{4}=\cot\frac{ \pi}{4}=1$.
  Следовательно, $\cot\!\left(-\frac{21\pi}{4}\right)=-1$.

Подставляем:

$$-1+2\cdot\left(-\frac12\right)-(-1)=-1-1+1=-1.$$

Ответ: $-1$.