ГДЗ 10-11 Класс Номер 9.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростить выражение:

а) $\sin ({90}^{\circ }-a)+\cos ({180}^{\circ }+a)+\mathrm{tg}({270}^{\circ }+a)+\mathrm{ctg}({360}^{\circ }+a)=$

$=\sin (\frac{\pi }{2}-a)+\cos (\pi +a)+\mathrm{tg}(\frac{3\pi }{2}+a)+\mathrm{ctg}(2\pi +a)=$

$=\cos a-\cos a-\mathrm{ctg}a+\mathrm{ctg}a=0;$

Ответ: $0$.

б) $\sin (\frac{\pi }{2}+t)-\cos (\pi -t)+\mathrm{tg}(\pi -t)+\mathrm{ctg}(\frac{5\pi }{2}-t)=$

$=\cos t-(-\cos t)-\mathrm{tg}t+\mathrm{tg}t=\cos t+\cos t=2\cos t;$

Ответ: $2\cos t$.

а) $\sin ({90}^{\circ }-a)+\cos ({180}^{\circ }+a)+\mathrm{tg}({270}^{\circ }+a)+\mathrm{ctg}({360}^{\circ }+a)$

1) Подготовим нужные формулы (они же работают и в радианах):

• «Дополнительные углы» (кофункции):$$\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}({90}^{\circ }-x)=\cos x,\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(\frac{\pi }{2}-x)=\cos x;$$$$\mathrm{tg}\text{\hspace{0.17em}⁣}({90}^{\circ }+x)=-\mathrm{ctg}x,\mathrm{tg}\text{\hspace{0.17em}⁣}(\frac{\pi }{2}+x)=-\mathrm{ctg}x;$$$$\mathrm{ctg}\text{\hspace{0.17em}⁣}({90}^{\circ }-x)=\mathrm{tg}x,\mathrm{ctg}\text{\hspace{0.17em}⁣}(\frac{\pi }{2}-x)=\mathrm{tg}x\mathrm{.}$$

  Эти равенства легко проверить через $\sin$ и $\cos$:

  $$\mathrm{tg}\text{\hspace{0.17em}⁣}(\frac{\pi }{2}+x)=\frac{\sin (\frac{\pi }{2}+x)}{\cos (\frac{\pi }{2}+x)}=\frac{\cos x}{-\sin x}=-\mathrm{ctg}x,$$

$$\mathrm{ctg}\text{\hspace{0.17em}⁣}(\frac{\pi }{2}-x)=\frac{\cos (\frac{\pi }{2}-x)}{\sin (\frac{\pi }{2}-x)}=\frac{\sin x}{\cos x}=\mathrm{tg}x\mathrm{.}$$

• Периодичность и сдвиги:$$\cos (\pi +x)=-\cos x,\cos ({180}^{\circ }+x)=-\cos x;$$$$\mathrm{tg}(x+\pi )=\mathrm{tg}x,\mathrm{ctg}(x+2\pi )=\mathrm{ctg}x(\text{у }\mathrm{ctg}\text{ период тоже }\pi )\mathrm{.}$$

2) Преобразуем каждое слагаемое

(i) $\sin ({90}^{\circ }-a)$

$$\sin ({90}^{\circ }-a)=\cos a$$

(кофункция). В радианах: $\sin (\frac{\pi }{2}-a)=\cos a$.

(ii) $\cos ({180}^{\circ }+a)$

$$\cos ({180}^{\circ }+a)=\cos (\pi +a)=-\cos a$$

(сдвиг на $\pi$).

(iii) $\mathrm{tg}({270}^{\circ }+a)$

Сначала используем период $\pi$ у $\mathrm{tg}$:

$$\mathrm{tg}({270}^{\circ }+a)=\mathrm{tg}\text{\hspace{0.17em}⁣}({180}^{\circ }+({90}^{\circ }+a))=\mathrm{tg}({90}^{\circ }+a)\mathrm{.}$$

Далее формула кофункции:

$$\mathrm{tg}({90}^{\circ }+a)=-\mathrm{ctg}a\mathrm{.}$$

В радианах: $\mathrm{tg}(\frac{3\pi }{2}+a)=\mathrm{tg}(\frac{\pi }{2}+a)=-\mathrm{ctg}a$.

(iv) $\mathrm{ctg}({360}^{\circ }+a)$

$$\mathrm{ctg}({360}^{\circ }+a)=\mathrm{ctg}(a+{360}^{\circ })=\mathrm{ctg}a$$

(периодичность). В радианах: $\mathrm{ctg}(2\pi +a)=\mathrm{ctg}a$.

3) Складываем

$$\underset{\sin ({90}^{\circ }-a)}{\underbrace{\cos a}}+\underset{\cos ({180}^{\circ }+a)}{\underbrace{(-\cos a)}}+\underset{\mathrm{tg}({270}^{\circ }+a)}{\underbrace{(-\mathrm{ctg}a)}}+\underset{\mathrm{ctg}({360}^{\circ }+a)}{\underbrace{\mathrm{ctg}a}}=0.$$

4) ОДЗ (где выражение определено)

• $\mathrm{tg}({270}^{\circ }+a)$ не определена, когда $\cos ({270}^{\circ }+a)=0$. Это эквивалентно $\cos (\frac{3\pi }{2}+a)=0⟺a\in \pi \mathbb{Z}$.
• $\mathrm{ctg}({360}^{\circ }+a)$ не определена, когда $\sin ({360}^{\circ }+a)=0⟺a\in \pi \mathbb{Z}$.
  Итого: выражение корректно при $a\mathrm{\notin }\pi \mathbb{Z}$.

Ответ к а): $0$ (при $a\mathrm{\notin }\pi \mathbb{Z}$).

б) $\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(\frac{\pi }{2}+t)-\cos (\pi -t)+\mathrm{tg}(\pi -t)+\mathrm{ctg}\text{\hspace{0.17em}⁣}(\frac{5\pi }{2}-t)$

1) Опять выпишем нужные тождества

(часть уже была выше, просто напомним именно те, что применим здесь):

$$\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(\frac{\pi }{2}+x)=\cos x,\cos (\pi -x)=-\cos x,\mathrm{tg}(\pi -x)=-\mathrm{tg}x,$$$$\mathrm{ctg}(\theta +2\pi )=\mathrm{ctg}\theta ,\mathrm{ctg}\text{\hspace{0.17em}⁣}(\frac{\pi }{2}-x)=\mathrm{tg}x\mathrm{.}$$

2) Преобразуем слагаемые по одному

(i) $\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(\frac{\pi }{2}+t)$

$$\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(\frac{\pi }{2}+t)=\cos t$$

(кофункция).

(ii) $-\cos (\pi -t)$

$$\cos (\pi -t)=-\cos t\Rightarrow -\cos (\pi -t)=-(-\cos t)=+\cos t\mathrm{.}$$

(iii) $\mathrm{tg}(\pi -t)$

$$\mathrm{tg}(\pi -t)=-\mathrm{tg}t$$

(знак тангенса во II четверти или напрямую через $\sin \mathrm{/}\cos$).

(iv) $\mathrm{ctg}\text{\hspace{0.17em}⁣}(\frac{5\pi }{2}-t)$

Заметим, что $\frac{5\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+2\pi$. Снимаем период $2\pi$:

$$\mathrm{ctg}\text{\hspace{0.17em}⁣}(\frac{5\pi }{2}-t)=\mathrm{ctg}\text{\hspace{0.17em}⁣}(\frac{\pi }{2}-t)=\mathrm{tg}t$$

(кофункция для $\mathrm{ctg}$).

3) Складываем

$$\underset{\sin (\frac{\pi }{2}+t)}{\underbrace{\cos t}}+\underset{-\cos (\pi -t)}{\underbrace{\cos t}}+\underset{\mathrm{tg}(\pi -t)}{\underbrace{(-\mathrm{tg}t)}}+\underset{\mathrm{ctg}(\frac{5\pi }{2}-t)}{\underbrace{\mathrm{tg}t}}=2\cos t\mathrm{.}$$

4) ОДЗ (где выражение определено)

• $\mathrm{tg}(\pi -t)$ не определена, когда $\cos (\pi -t)=0⟺\cos t=0⟺t=\frac{\pi }{2}+\pi k$.
• $\mathrm{ctg}\text{\hspace{0.17em}⁣}(\frac{5\pi }{2}-t)=\mathrm{ctg}\text{\hspace{0.17em}⁣}(\frac{\pi }{2}-t)$ не определена, когда $\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(\frac{\pi }{2}-t)=0⟺\cos t=0⟺t=\frac{\pi }{2}+\pi k$.
  Итого: выражение корректно при $t\mathrm{\ne }\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$.

Ответ к б): $2\cos t$ (при $t\mathrm{\ne }\frac{\pi }{2}+\pi k$).