ГДЗ 10-11 Класс Номер 9.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростить выражение:

а) $\frac{\cos(180^\circ + a) \cdot \cos(-a)}{\sin(-a) \cdot \sin(90^\circ + a)} = \frac{-\cos a \cdot \cos a}{-\sin a \cdot \cos a} = \frac{\cos a}{\sin a} = \operatorname{ctg} a;$

Ответ: $\operatorname{ctg} a.$

б) $\frac{\sin(\pi — t) \cdot \cos(2\pi — t)}{\operatorname{tg}(\pi — t) \cdot \cos(\pi — t)} = \frac{\sin t \cdot \cos t}{-\operatorname{tg} t \cdot (-\cos t)} = \sin t : \operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} = \cos t;$

Ответ: $\cos t.$

в) $\frac{\sin(-a) \cdot \operatorname{ctg}(-a)}{\cos(360^\circ — a) \cdot \operatorname{tg}(180^\circ + a)} = \frac{-\sin a \cdot (-\operatorname{ctg} a)}{\cos a \cdot \operatorname{tg} a} = \operatorname{tg} a \cdot \frac{\operatorname{ctg} a}{\operatorname{tg} a} = \operatorname{ctg} a;$

Ответ: $\operatorname{ctg} a.$

г) $\frac{\sin(\pi + t) \cdot \sin(2\pi + t)}{\operatorname{tg}(\pi + t) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2} + t\right)} = \frac{-\sin t \cdot \sin t}{\operatorname{tg} t \cdot \sin t} = -\sin t : \frac{\sin t}{\cos t} = -\cos t;$

Ответ: $-\cos t.$

a)

$$\frac{\cos(180^\circ+a)\cdot\cos(-a)}{\sin(-a)\cdot\sin(90^\circ+a)}$$

Идентичности:

• $\cos(180^\circ+x)=-\cos x$
• $\cos(-x)=\cos x$ (чётность)
• $\sin(-x)=-\sin x$ (нечётность)
• $\sin(90^\circ+x)=\cos x$ (со-функции)

Преобразуем:

$$\frac{(-\cos a)\cdot(\cos a)}{(-\sin a)\cdot(\cos a)} =\frac{-\cos^2 a}{-\sin a\,\cos a} =\frac{\cos^2 a}{\sin a\,\cos a} =\frac{\cos a}{\sin a}=\ctg a .$$

ОДЗ: $\sin a\neq0$ и $\cos a\neq0$ (чтобы не делить на ноль и корректно сократить $\cos a$).

Ответ: $\ctg a$.

б)

$$\frac{\sin(\pi-t)\cdot\cos(2\pi-t)}{\tg(\pi-t)\cdot\cos(\pi-t)}$$

Идентичности:

• $\sin(\pi-x)=\sin x$
• $\cos(2\pi-x)=\cos x$ (период $2\pi$)
• $\tg(\pi-x)=-\tg x$
• $\cos(\pi-x)=-\cos x$
• $\tg x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$

Преобразуем:

$$\frac{(\sin t)\cdot(\cos t)}{(-\tg t)\cdot(-\cos t)} =\frac{\sin t\,\cos t}{\tg t\,\cos t} =\frac{\sin t}{\tg t} =\frac{\sin t}{\frac{\sin t}{\cos t}} =\cos t .$$

ОДЗ: $\cos t\neq0$ (чтобы была определена $\tg(\pi-t)$) и $\sin t\neq0$ (иначе получаем $0/0$ при сокращении).

Ответ: $\cos t$.

в)

$$\frac{\sin(-a)\cdot\ctg(-a)}{\cos(360^\circ-a)\cdot\tg(180^\circ+a)}$$

Идентичности:

• $\sin(-x)=-\sin x$
• $\ctg(-x)=-\ctg x$
• $\cos(360^\circ-x)=\cos x$
• $\tg(180^\circ+x)=\tg x$
• $\ctg x=\dfrac{\cos x}{\sin x},\quad \tg x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$

Преобразуем:

$$\frac{(-\sin a)\cdot(-\ctg a)}{\cos a\cdot\tg a} =\frac{\sin a\cdot\ctg a}{\cos a\cdot\tg a} =\frac{\sin a\cdot\frac{\cos a}{\sin a}}{\cos a\cdot\frac{\sin a}{\cos a}} =\frac{\color{gray}{\cancel{\sin a}}\;\cos a/\color{gray}{\cancel{\sin a}}}{\color{gray}{\cancel{\cos a}}\;\sin a/\color{gray}{\cancel{\cos a}}} =\frac{\cos a}{\sin a} =\ctg a .$$

ОДЗ: $\sin a\neq0,\ \cos a\neq0$ (нужны для $\tg a$ и $\ctg a$ и для сокращений).

Ответ: $\ctg a$.

г)

$$\frac{\sin(\pi+t)\cdot\sin(2\pi+t)}{\tg(\pi+t)\cdot\cos\!\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)}$$

Идентичности:

• $\sin(\pi+x)=-\sin x$
• $\sin(2\pi+x)=\sin x$
• $\tg(\pi+x)=\tg x$
• $\cos\!\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=\sin x$
  (так как $\cos(x+3\pi/2)=\cos x\cos\frac{3\pi}{2}-\sin x\sin\frac{3\pi}{2}=0-(-1)\sin x=\sin x$)
• $\tg x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$

Преобразуем:

$$\frac{(-\sin t)\cdot(\sin t)}{\tg t\cdot(\sin t)} =\frac{-\sin^2 t}{\tg t\,\sin t} =-\frac{\sin t}{\tg t} =-\frac{\sin t}{\frac{\sin t}{\cos t}} =-\cos t .$$

ОДЗ: $\cos t\neq0$ (для $\tg t$) и $\sin t\neq0$ (поскольку умножаем на $\sin t$ в знаменателе; иначе $0/0$).

Ответ: $-\cos t$.