ГДЗ 10-11 Класс Номер 5.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти на числовой окружности точки с данной ординатой:

а) $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( -\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{4\pi}{3} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{5\pi}{3} \right);$$

Ответ: $t_1 = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n; \, t_2 = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n.$

б) $y = 1$;

Подходящая точка:

$$M(0; 1) = M \left( \frac{\pi}{2} \right);$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$

в) $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{5\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{4} \right);$$

Ответ: $t_1 = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n; \, t_2 = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n.$

г) $y = -1$;

Подходящая точка:

$$M(0; -1) = M \left( \frac{3\pi}{2} \right);$$

Ответ: $t = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$

Будем опираться на числовую (единичную) окружность и связь

$$M(t)=(x,y)=(\cos t,\;\sin t).$$

То есть «данная ордината $y$» ⇔ «найти все $t$, где $\sin t$ принимает это значение». Сначала найдём все решения на $[0,2\pi)$ (углы на окружности), а затем добавим периодичность $\;+\;2\pi n,\; n\in\mathbb Z$.

Общая схема поиска

1. Берём модуль заданного $y$ и находим опорный (острый) угол $\alpha\in(0,\frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin\alpha=|y|$.
2. Определяем знак $y$ ⇒ по правилу «синус положителен в I и II четвертях; отрицателен в III и IV».
3. Для положительного $y$: решения в пределах круга — $t=\alpha$ и $t=\pi-\alpha$.
   Для отрицательного $y$: решения — $t=\pi+\alpha$ и $t=2\pi-\alpha$.
4. К каждому такому $t$ добавляем период $2\pi n$.

а) $y=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1. $|y|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \alpha$ такой, что $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Это стандартное значение: $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$ (60°).

Шаг 2. $y<0$ ⇒ берём III и IV четверти.

Шаг 3. Формулы отрицательного синуса:

$$t_1=\pi+\alpha=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3},\qquad t_2=2\pi-\alpha=2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}.$$

Координаты точек (для проверки и привязки к окружности):

• при $t=\dfrac{4\pi}{3}$: $\cos t=-\dfrac{1}{2},\; \sin t=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow M_1\!\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$;
• при $t=\dfrac{5\pi}{3}$: $\cos t= \dfrac{1}{2},\; \sin t=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow M_2\!\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Общий ответ:

$$t_1=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\qquad t_2=\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $y=1$

Шаг 1. $|y|=1\Rightarrow \sin\alpha=1$ ⇒ единственный угол в пределах круга: $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$.

Шаг 2. $y>0$; но крайний случай: $\sin t$ достигает максимума $1$ только в верхней точке окружности.

Решение на $[0,2\pi)$:

$$t=\frac{\pi}{2}.$$

Координаты: $M(0;1)$.

Общий ответ:

$$t=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1. $|y|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \alpha$ такой, что $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Стандартный острый угол: $\alpha=\dfrac{\pi}{4}$ (45°).

Шаг 2. $y<0$ ⇒ III и IV четверти.

Шаг 3. Решения:

$$t_1=\pi+\alpha=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4},\qquad t_2=2\pi-\alpha=2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}.$$

Координаты точек:

• при $t=\dfrac{5\pi}{4}$: $\cos t=-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\; \sin t=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow M_1\!\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2};-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$;
• при $t=\dfrac{7\pi}{4}$: $\cos t= \dfrac{\sqrt{2}}{2},\; \sin t=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow M_2\!\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2};-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Общий ответ:

$$t_1=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\qquad t_2=\frac{7\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $y=-1$

Шаг 1. $|y|=1\Rightarrow \sin t=-1$ достигается только в нижней точке окружности.

Решение на $[0,2\pi)$:

$$t=\frac{3\pi}{2}.$$

Координаты: $M(0;-1)$.

Общий ответ:

$$t=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$