ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите все натуральные числа x и у такие, что:

а) 7x + 12у = 50;

б) 11х + 18y = 98;

в) 5х — у = 17;

г) 5x-11y = 137.

а)
$7x+12y=50;$
$7x+7y+5y=50;$
$7x+7y=50-5y;$
$7(x+y)=5(10-y);$
$\frac{10-y}{7}=\frac{x+y}{5};$

1. $(10-y)$ кратно 7 и $y\in \mathbb{N}$, значит:
   $10-y=7;$
   $y=10-7=3;$
2. $(x+y)$ кратно 5 и $x\in \mathbb{N}$, значит:
   $x+y=5;$
   $x+3=5;$
   $x=5-3=2;$

Ответ: $(2;3)$.

б)
$11x+18y=98;$
$11x+11y+7y=98;$
$11x+11y=98-7y;$
$11(x+y)=7(14-y);$
$\frac{x+y}{7}=\frac{14-y}{11};$

1. $(14-y)$ кратно 11 и $y\in \mathbb{N}$, значит:
   $14-y=11;$
   $y=14-11=3;$
2. $(x+y)$ кратно 7 и $x\in \mathbb{N}$, значит:
   $x+y=7;$
   $x+3=7;$
   $x=7-3=4;$

Ответ: $(4;3)$.

в)
$5x-y=17;$
$y=5x-17;$

Числа $x$ и $y$ натуральные, значит:
$5x-17>0;$
$5x>17;$
$x>3\frac{2}{5},\text{ отсюда }x>3;$
$x=3+n;$
$y=5(3+n)-17=15+5n-17=5n-2;$

Ответ: $x=3+n;y=5n-2$.

г)
$5x-11y=137;$
$5x-11y=115+22;$
$5x-115=11y+22;$
$5(x-23)=11(y+2);$
$\frac{x-23}{11}=\frac{y+2}{5};$

1. $(x-23)$ кратно 11 и $x\in \mathbb{N}$, значит:
   $x-23=11n;$
   $x=11n+23;$
2. $(y+2)$ кратно 5 и $y\in \mathbb{N}$, значит:
   $y+2=5n;$
   $y=5n-2;$

Ответ: $x=11n+23;y=5n-2$.

Найти все натуральные числа $x$ и $y$, которые удовлетворяют указанным уравнениям.

а)

Уравнение:
$7x+12y=50$

Начнем с того, что у нас есть исходное уравнение:

$$7x+12y=50$$

Перепишем уравнение так, чтобы выделить переменные $x$ и $y$. Сначала преобразуем его следующим образом:

$$7x+7y+5y=50$$

Затем сгруппируем термины с $x$ и $y$:

$$7x+7y=50-5y$$

Теперь у нас есть уравнение:

$$7(x+y)=50-5y$$

Разделим обе части уравнения на 5, чтобы продолжить упрощение:

$$7(x+y)=5(10-y)$$

Дальше у нас получается выражение, где оба числа в скобках делятся на 7 и 5:

$$\frac{10-y}{7}=\frac{x+y}{5}$$

Теперь рассмотрим два условия, которые должны быть выполнены для $x$ и $y$:

$(10-y)$ должно быть кратно 7 и $y\in \mathbb{N}$, то есть:

$$10-y=7$$

Отсюда:

$$y=10-7=3$$

Теперь подставим $y=3$ в уравнение для $x+y$, которое должно быть кратно 5:

$$x+3=5$$

Таким образом, получаем:

$$x=5-3=2$$

Ответ для пункта а): $(x,y)=(2,3)$.

б)

Уравнение:
$11x+18y=98$

Начнем с того, что у нас есть исходное уравнение:

$$11x+18y=98$$

Перепишем его следующим образом:

$$11x+11y+7y=98$$

Соберем подобные члены:

$$11x+11y=98-7y$$

Получим уравнение:

$$11(x+y)=7(14-y)$$

Разделим обе стороны на 7:

$$\frac{x+y}{7}=\frac{14-y}{11}$$

Теперь также рассмотрим два условия:

$(14-y)$ должно быть кратно 11 и $y\in \mathbb{N}$, то есть:

$$14-y=11$$

Отсюда:

$$y=14-11=3$$

Подставим $y=3$ в уравнение для $x+y$, которое должно быть кратно 7:

$$x+3=7$$

Таким образом, получаем:

$$x=7-3=4$$

Ответ для пункта б): $(x,y)=(4,3)$.

в)

Уравнение:
$5x-y=17$

Перепишем уравнение для $y$:

$$y=5x-17$$

Числа $x$ и $y$ должны быть натуральными. Для того чтобы $y$ было натуральным, нужно, чтобы:

$$5x-17>0$$

Перепишем неравенство:

$$5x>17$$

Разделим обе части на 5:

$$x>3\frac{2}{5}$$

Это значит, что $x>3$. Следовательно, $x\ge 4$.

Пусть $x=3+n$, где $n\in \mathbb{N}$. Подставим это значение в выражение для $y$:

$$y=5(3+n)-17=15+5n-17=5n-2$$

Таким образом, решение выражается в виде:

$$x=3+n,y=5n-2$$

Ответ для пункта в): $x=3+n;y=5n-2$.

г)

Уравнение:
$5x-11y=137$

Перепишем уравнение следующим образом:

$$5x-11y=115+22$$

Выразим это как:

$$5x-115=11y+22$$

Получаем:

$$5(x-23)=11(y+2)$$

Разделим обе части на 11 и 5:

$$\frac{x-23}{11}=\frac{y+2}{5}$$

Теперь рассмотрим два условия:

$(x-23)$ должно быть кратно 11 и $x\in \mathbb{N}$, то есть:

$$x-23=11n$$

Отсюда:

$$x=11n+23$$

$(y+2)$ должно быть кратно 5 и $y\in \mathbb{N}$, то есть:

$$y+2=5n$$

Отсюда:

$$y=5n-2$$

Ответ для пункта г): $x=11n+23;y=5n-2$.

Итоговый ответ:

а) $(2,3)$

б) $(4,3)$

в) $x=3+n;y=5n-2$

г) $x=11n+23;y=5n-2$