ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При некотором значении $a$ число $b=a+\frac{2}{a}$ является целым, будет ли целым число:

а) $a^2+\frac{4}{a^2}$;

Число $b\in \mathbb{Z}$, значит и число $(b{)}^2\in \mathbb{Z}$;

$$(b{)}^2={(a+\frac{2}{a})}^2=a^2+2\cdot \frac{2}{a}\cdot a+{\left(\frac{2}{a}\right)}^2=a^2+\frac{4}{a^2}+4;$$$$(a^2+\frac{4}{a^2})=4-(b{)}^2;$$

Числа $4\in \mathbb{Z}$ и $(b{)}^2\in \mathbb{Z}$, значит и число $(a^2+\frac{4}{a^2})\in \mathbb{Z}$;

Ответ: да.

б) $a^3+\frac{8}{a^3}$;

Число $b\in \mathbb{Z}$, значит и число $(b{)}^3\in \mathbb{Z}$;

$$(b{)}^3={(a+\frac{2}{a})}^3=a^3+3\cdot a^2\cdot \frac{2}{a}+3\cdot a\cdot {\left(\frac{2}{a}\right)}^2+{\left(\frac{2}{a}\right)}^3;$$$$(b{)}^3=a^3+\frac{8}{a^3}+6a+\frac{12}{a}=a^3+\frac{8}{a^3}+6(a+\frac{2}{a})=a^3+\frac{8}{a^3}+6b;$$$$(a^3+\frac{8}{a^3})=(b{)}^3-6b;$$

Числа $b\in \mathbb{Z}$ и $(b{)}^3\in \mathbb{Z}$, значит и число $(a^3+\frac{8}{a^3})\in \mathbb{Z}$;

Ответ: да.

При некотором значении $a$ число $b=a+\frac{2}{a}$ является целым, будет ли целым число:

а) $a^2+\frac{4}{a^2}$

Шаг 1: Условие, что $b=a+\frac{2}{a}$ является целым числом

• Нам дано, что $b=a+\frac{2}{a}$, и известно, что $b\in \mathbb{Z}$, то есть $b$ — целое число.
• Задача состоит в том, чтобы доказать, что $a^2+\frac{4}{a^2}$ также является целым числом при тех же условиях.

Шаг 2: Преобразование выражения

• Мы начинаем с того, что возведем $b=a+\frac{2}{a}$ в квадрат:

$$b^2={(a+\frac{2}{a})}^2$$

• Раскроем квадрат:

$$b^2=a^2+2\cdot a\cdot \frac{2}{a}+{\left(\frac{2}{a}\right)}^2$$

• Упростим:

$$b^2=a^2+4+\frac{4}{a^2}$$

• Перепишем выражение:

$$b^2=a^2+\frac{4}{a^2}+4$$

Шаг 3: Решение для $a^2+\frac{4}{a^2}$

• Теперь, чтобы выразить $a^2+\frac{4}{a^2}$, вычитаем 4 из обеих частей уравнения:

$$a^2+\frac{4}{a^2}=b^2-4$$

Шаг 4: Доказательство целочисленности

• Так как $b\in \mathbb{Z}$, то $b^2\in \mathbb{Z}$ (квадрат целого числа всегда целое).
• Из этого следует, что $b^2-4\in \mathbb{Z}$, потому что разность двух целых чисел всегда целое число.
• Таким образом, $a^2+\frac{4}{a^2}\in \mathbb{Z}$.

Ответ: Да, выражение $a^2+\frac{4}{a^2}$ всегда является целым числом.

б) $a^3+\frac{8}{a^3}$

Шаг 1: Условие, что $b=a+\frac{2}{a}$ является целым числом

• Из условия задачи мы знаем, что $b=a+\frac{2}{a}$, и также $b\in \mathbb{Z}$, то есть $b$ — целое число.
• Задача состоит в том, чтобы доказать, что $a^3+\frac{8}{a^3}$ также является целым числом.

Шаг 2: Преобразование выражения

• Мы начнем с того, что возведем $b=a+\frac{2}{a}$ в куб:

$$b^3={(a+\frac{2}{a})}^3$$

• Раскроем куб:

$$b^3=a^3+3a^2\cdot \frac{2}{a}+3a\cdot {\left(\frac{2}{a}\right)}^2+{\left(\frac{2}{a}\right)}^3$$

• Упростим:

$$b^3=a^3+6a+\frac{12}{a}+\frac{8}{a^3}$$

Шаг 3: Перепишем выражение для $a^3+\frac{8}{a^3}$

• Перепишем выражение для $b^3$:

$$b^3=a^3+\frac{8}{a^3}+6(a+\frac{2}{a})$$

• Обозначим $b=a+\frac{2}{a}$, тогда:

$$b^3=a^3+\frac{8}{a^3}+6b$$

Шаг 4: Решение для $a^3+\frac{8}{a^3}$

• Вычитаем $6b$ из обеих частей уравнения:

$$a^3+\frac{8}{a^3}=b^3-6b$$

Шаг 5: Доказательство целочисленности

• Так как $b\in \mathbb{Z}$, то $b^3\in \mathbb{Z}$ (куб целого числа всегда целое).
• Так как $b\in \mathbb{Z}$, то и $6b\in \mathbb{Z}$ (умножение целого числа на целое всегда дает целое число).
• Следовательно, разность $b^3-6b\in \mathbb{Z}$.
• Таким образом, $a^3+\frac{8}{a^3}\in \mathbb{Z}$.

Ответ: Да, выражение $a^3+\frac{8}{a^3}$ всегда является целым числом.

Итоговое решение:

1. Для пункта а: $a^2+\frac{4}{a^2}$ всегда является целым числом.
2. Для пункта б: $a^3+\frac{8}{a^3}$ всегда является целым числом.