ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.38 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что среди данных последовательных натуральных чисел нет ни одного простого числа:

а) 23! + 2, 23! + 3; 23! + 4,)… , 23! + 23;

б) 101! + 2, 101! + 3; 101! + 4,)…, 101! + 101.

в) Сколько составных чисел в каждой серии а) и б ?

г) Выпишите 1 000 000 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого.

а) $23!+2,23!+3,23!+4,\dots ,23!+23$;

1. $23!=2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot \dots \cdot 20\cdot 21\cdot 22\cdot 23$;
2. В каждом из чисел данной последовательности первое слагаемое содержит множитель равный второму слагаемому, значит все эти числа делятся как минимум на второе слагаемое, например:

$$\frac{23!+2}{2}=\frac{2\cdot 3\cdot 4\cdot \dots \cdot 23+2}{2}=3\cdot 4\cdot \dots \cdot 23+1;$$$$\frac{23!+8}{8}=\frac{2\cdot 3\cdot \dots \cdot 8\cdot \dots \cdot 23+8}{8}=2\cdot 3\cdot \dots \cdot 7\cdot 9\cdot \dots \cdot 23+1;$$

в) Все числа являются составными, их количество составляет:

$$N=(23-2)+1=22;$$

Ответ: 22.

б) $101!+2,101!+3,101!+4,\dots ,23!+101$;

1. $101!=2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot \dots \cdot 98\cdot 99\cdot 100\cdot 101$;
2. В каждом из чисел данной последовательности первое слагаемое содержит множитель равный второму слагаемому, значит все эти числа делятся как минимум на второе слагаемое, например:

$$\frac{101!+3}{3}=\frac{2\cdot 3\cdot 4\cdot \dots \cdot 101+3}{3}=2\cdot 4\cdot \dots \cdot 101+1;$$$$\frac{23!+43}{43}=\frac{2\cdot 3\cdot \dots \cdot 43\cdot \dots \cdot 101+43}{43}=2\cdot 3\cdot \dots \cdot 42\cdot 44\cdot \dots \cdot 101+1;$$

в) Все числа являются составными, их количество составляет:

$$N=(101-2)+1=100;$$

Ответ: 100.

г) Последовательность $1000000$ чисел, среди которых нет ни одного простого числа (то есть все числа содержат множители отличные от единицы и самого числа):

$$1000001!+2,1000001!+3,1000001!+4,\dots ,1000001!+1000001;$$$$N=(1000001-2)+1=1000000.$$

В этой задаче требуется доказать, что числа вида $n!+k$, где $n!$ — факториал числа $n$, а $k$ — некоторое натуральное число, являются составными для конкретных значений $n$. Рассмотрим каждый пункт более подробно.

а) $23!+2,23!+3,23!+4,\dots ,23!+23$

1) Рассмотрим факториал числа 23:

Факториал числа $23!$ — это произведение всех целых чисел от 1 до 23:

$$23!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \dots \cdot 23.$$

Поскольку факториал содержит все числа от 1 до 23, то $23!$ делится на все эти числа. Например:

$$23!\text{ делится на }2,3,4,\dots ,23.$$

2) Рассмотрим каждый из чисел последовательности $23!+k$, где $k=2,3,\dots ,23$:

Для каждого числа последовательности $23!+k$ рассмотрим, делится ли оно на $k$:

• $23!$ делится на $k$ (поскольку $k\le 23$).
• Следовательно, $23!$ можно записать как $23!=m\cdot k$, где $m$ — некоторый множитель.
• Тогда $23!+k=m\cdot k+k=k(m+1)$.

Таким образом, каждое из чисел $23!+k$ делится на $k$, то есть оно составное.

Пример:

• Для $k=2$:

$$\frac{23!+2}{2}=\frac{2\cdot 3\cdot 4\cdot \dots \cdot 23+2}{2}=3\cdot 4\cdot \dots \cdot 23+1.$$

• Для $k=8$:

$$\frac{23!+8}{8}=\frac{2\cdot 3\cdot \dots \cdot 8\cdot \dots \cdot 23+8}{8}=2\cdot 3\cdot \dots \cdot 7\cdot 9\cdot \dots \cdot 23+1.$$

Каждое число $23!+k$ делится на $k$, что делает его составным.

в) Количество составных чисел:

Так как последовательность состоит из 22 чисел $23!+2,23!+3,\dots ,23!+23$, все они составные. Количество таких чисел:

$$N=(23-2)+1=22.$$

Ответ: 22.

б) $101!+2,101!+3,101!+4,\dots ,101!+101$

1) Рассмотрим факториал числа 101:

Факториал числа $101!$ — это произведение всех целых чисел от 1 до 101:

$$101!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \dots \cdot 101.$$

Как и в случае с $23!$, число $101!$ делится на все числа от 1 до 101.

2) Рассмотрим числа последовательности $101!+k$, где $k=2,3,\dots ,101$:

Для каждого числа последовательности $101!+k$ рассмотрим, делится ли оно на $k$:

• $101!$ делится на $k$ (поскольку $k\le 101$).
• Следовательно, $101!$ можно записать как $101!=m\cdot k$, где $m$ — некоторый множитель.
• Тогда $101!+k=m\cdot k+k=k(m+1)$.

Таким образом, каждое из чисел $101!+k$ делится на $k$, и следовательно оно составное.

Пример:

• Для $k=3$:

$$\frac{101!+3}{3}=\frac{2\cdot 3\cdot 4\cdot \dots \cdot 101+3}{3}=2\cdot 4\cdot \dots \cdot 101+1.$$

• Для $k=43$:

$$\frac{101!+43}{43}=\frac{2\cdot 3\cdot \dots \cdot 43\cdot \dots \cdot 101+43}{43}=2\cdot 3\cdot \dots \cdot 42\cdot 44\cdot \dots \cdot 101+1.$$

Все числа $101!+k$ делятся на $k$, и следовательно, все эти числа являются составными.

в) Количество составных чисел:

Так как последовательность состоит из 100 чисел $101!+2,101!+3,\dots ,101!+101$, все они составные. Количество таких чисел:

$$N=(101-2)+1=100.$$

Ответ: 100.

г) Последовательность $1000000$ чисел, среди которых нет ни одного простого числа (то есть все числа содержат множители, отличные от единицы и самого числа):

Рассмотрим числа:

$$1000001!+2,1000001!+3,1000001!+4,\dots ,1000001!+1000001.$$

1) Рассмотрим факториал числа $1000001!$:

Факториал $1000001!$ — это произведение всех чисел от 1 до $1000001$, которое обязательно делится на все числа от 1 до $1000001$.

2) Рассмотрим числа $1000001!+k$, где $k=2,3,\dots ,1000001$:

Каждое из этих чисел $1000001!+k$ делится на $k$, поскольку $1000001!$ делится на все числа от 1 до $1000001$, и $k$ добавляется к числу, которое уже делится на $k$.

Таким образом, каждое число в последовательности $1000001!+2,1000001!+3,\dots ,1000001!+1000001$ является составным.

3) Количество составных чисел:

Последовательность состоит из $1000000$ чисел. Все эти числа составные. Количество таких чисел:

$$N=(1000001-2)+1=1000000.$$

Ответ: 1,000,000.