ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.48 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите НОД и HOK чисел:

а) 154 и 210;

б) 120 и 144;

в) 255 и 510;

г) 105 и 165.

Найти НОД и НОК чисел:

а) 154 и 210;

1. Разложим числа на простые множители:$$\begin{array}{cc}154& 2\\ 77& 7\\ 11& 11\\ 1& 1\end{array}\begin{array}{cc}210& 2\\ 105& 3\\ 35& 5\\ 7& 7\\ 1& 1\end{array}$$
2. Перемножим общие множители:$$\text{НОД}=2\cdot 7=14;$$
3. Перемножим числа с большими степенями:$$\text{НОК}=2\cdot 7\cdot 11\cdot 3\cdot 5=2310;$$

б) 120 и 144;

1. Разложим числа на простые множители:$$\begin{array}{cc}120& 2\\ 60& 2\\ 30& 2\\ 15& 3\\ 5& 5\\ 1& 1\end{array}\begin{array}{cc}144& 2\\ 72& 2\\ 36& 2\\ 18& 2\\ 9& 3\\ 3& 3\\ 1& 1\end{array}$$
2. Перемножим общие множители:$$\text{НОД}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3=24;$$
3. Перемножим числа с большими степенями:$$\text{НОК}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5=720;$$

в) 255 и 510;

1. Разложим числа на простые множители:$$\begin{array}{cc}255& 3\\ 85& 5\\ 17& 17\\ 1& 1\end{array}\begin{array}{cc}510& 2\\ 255& 3\\ 85& 5\\ 17& 17\\ 1& 1\end{array}$$
2. Перемножим общие множители:$$\text{НОД}=3\cdot 5\cdot 17=255;$$
3. Перемножим числа с большими степенями:$$\text{НОК}=2\cdot 3\cdot 5\cdot 17=510;$$

г) 105 и 165;

1. Разложим числа на простые множители:$$\begin{array}{cc}105& 3\\ 35& 5\\ 7& 7\\ 1& 1\end{array}\begin{array}{cc}165& 3\\ 55& 5\\ 11& 11\\ 1& 1\end{array}$$
2. Перемножим общие множители:$$\text{НОД}=3\cdot 5=15;$$
3. Перемножим числа с большими степенями:$$\text{НОК}=3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=1155$$

а) 154 и 210

Шаг 1: Разложение чисел на простые множители

Для того чтобы найти НОД и НОК чисел, сначала разложим их на простые множители.

• Для числа 154:$$154÷2=77\text{(делим на 2)}\mathrm{.}$$

  Далее делим 77 на 7:

  $$77÷7=11\text{(делим на 7)}\mathrm{.}$$

  11 — простое число, его можно оставить как есть.
  Таким образом, разложение числа 154:

  $$154=2\cdot 7\cdot 11.$$

• Для числа 210:$$210÷2=105\text{(делим на 2)}\mathrm{.}$$

  Далее делим 105 на 3:

  $$105÷3=35\text{(делим на 3)}\mathrm{.}$$

  Делим 35 на 5:

  $$35÷5=7\text{(делим на 5)}\mathrm{.}$$

  7 — простое число, его оставляем как есть.
  Таким образом, разложение числа 210:

  $$210=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7.$$

Шаг 2: Нахождение НОД

Находим НОД, перемножив общие простые множители:

Общие множители чисел 154 и 210 — это $2$ и $7$. Перемножаем их:

$$\text{НОД}=2\cdot 7=14.$$

Шаг 3: Нахождение НОК

Для нахождения НОК перемножаем все простые множители чисел, взяв их с наибольшими степенями:

Множители для НОК:

$$\text{НОК}=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310.$$

Ответ:

• НОД $154$ и $210$ равен 14.
• НОК $154$ и $210$ равен 2310.

б) 120 и 144

Шаг 1: Разложение чисел на простые множители

• Для числа 120:$$120÷2=60\text{(делим на 2)}\mathrm{.}$$$$60÷2=30\text{(делим на 2)}\mathrm{.}$$$$30÷2=15\text{(делим на 2)}\mathrm{.}$$

  Далее делим 15 на 3:

  $$15÷3=5\text{(делим на 3)}\mathrm{.}$$

  5 — простое число.
  Таким образом, разложение числа 120:

  $$120=2^3\cdot 3\cdot 5.$$

• Для числа 144:$$144÷2=72\text{(делим на 2)}\mathrm{.}$$$$72÷2=36\text{(делим на 2)}\mathrm{.}$$$$36÷2=18\text{(делим на 2)}\mathrm{.}$$$$18÷2=9\text{(делим на 2)}\mathrm{.}$$

  Далее делим 9 на 3:

  $$9÷3=3\text{(делим на 3)}\mathrm{.}$$

  3 делится на 3:

  $$3÷3=1\text{(делим на 3)}\mathrm{.}$$

  Таким образом, разложение числа 144:

  $$144=2^4\cdot 3^2\mathrm{.}$$

Шаг 2: Нахождение НОД

Для нахождения НОД выбираем минимальные степени общих простых множителей:

• Общие простые множители: $2^3$ и $3$.

Перемножаем их:

$$\text{НОД}=2^3\cdot 3=8\cdot 3=24.$$

Шаг 3: Нахождение НОК

Для нахождения НОК выбираем максимальные степени всех простых множителей:

$$\text{НОК}=2^4\cdot 3^2\cdot 5=16\cdot 9\cdot 5=720.$$

Ответ:

• НОД $120$ и $144$ равен 24.
• НОК $120$ и $144$ равен 720.

в) 255 и 510

Шаг 1: Разложение чисел на простые множители

• Для числа 255:$$255÷3=85\text{(делим на 3)}\mathrm{.}$$$$85÷5=17\text{(делим на 5)}\mathrm{.}$$

  17 — простое число.
  Таким образом, разложение числа 255:

  $$255=3\cdot 5\cdot 17.$$

• Для числа 510:$$510÷2=255\text{(делим на 2)}\mathrm{.}$$

  Разложение числа 255 мы уже нашли:

  $$255=3\cdot 5\cdot 17.$$

  Таким образом, разложение числа 510:

  $$510=2\cdot 3\cdot 5\cdot 17.$$

Шаг 2: Нахождение НОД

Для нахождения НОД выбираем минимальные степени общих простых множителей:

• Общие простые множители: $3$, $5$, и $17$.

Перемножаем их:

$$\text{НОД}=3\cdot 5\cdot 17=255.$$

Шаг 3: Нахождение НОК

Для нахождения НОК выбираем максимальные степени всех простых множителей:

$$\text{НОК}=2\cdot 3\cdot 5\cdot 17=510.$$

Ответ:

• НОД $255$ и $510$ равен 255.
• НОК $255$ и $510$ равен 510.

г) 105 и 165

Шаг 1: Разложение чисел на простые множители

• Для числа 105:$$105÷3=35\text{(делим на 3)}\mathrm{.}$$$$35÷5=7\text{(делим на 5)}\mathrm{.}$$

  7 — простое число.
  Таким образом, разложение числа 105:

  $$105=3\cdot 5\cdot 7.$$

• Для числа 165:$$165÷3=55\text{(делим на 3)}\mathrm{.}$$$$55÷5=11\text{(делим на 5)}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Нахождение НОД

Для нахождения НОД выбираем минимальные степени общих простых множителей:

• Общие простые множители: $3$ и $5$.

Перемножаем их:

$$\text{НОД}=3\cdot 5=15.$$

Шаг 3: Нахождение НОК

Для нахождения НОК выбираем максимальные степени всех простых множителей:

$$\text{НОК}=3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=1155.$$

Ответ:

• НОД $105$ и $165$ равен 15.
• НОК $105$ и $165$ равен 1155.

Итоговые ответы:

• а) НОД $154$ и $210$ — 14, НОК — 2310.
• б) НОД $120$ и $144$ — 24, НОК — 720.
• в) НОД $255$ и $510$ — 255, НОК — 510.
• г) НОД $105$ и $165$ — 15, НОК — 1155.