ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.49 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти НОД и НОК чисел:

а) $2^{32}\cdot 3^4\cdot {11}^{31}$ и $2^{23}\cdot 3^7\cdot {11}^{14}$;

Перемножим общие множители:

$$\text{НОД}=2^{23}\cdot 3^4\cdot {11}^{14};$$

Перемножим числа с большими степенями:

$$\text{НОК}=2^{32}\cdot 3^7\cdot {11}^{31}$$

б) $4^{24}\cdot 6^{14}\cdot 9^8$ и $8^{18}\cdot {10}^{17}\cdot {12}^{16}$;

Разложим на простые множители:

$$4^{24}\cdot 6^{14}\cdot 9^8=2^{48}\cdot 2^{14}\cdot 3^{14}\cdot 3^{16}=2^{62}\cdot 3^{30},$$$$8^{18}\cdot {10}^{17}\cdot {12}^{16}=2^{54}\cdot 2^{17}\cdot 5^{17}\cdot 2^{32}\cdot 3^{16}=2^{103}\cdot 3^{16}\cdot 5^{17};$$

Перемножим общие множители:

$$\text{НОД}=2^{54}\cdot 3^{16};$$

Перемножим числа с большими степенями:

$$\text{НОК}=2^{103}\cdot 3^{30}\cdot 5^{17}$$

Для нахождения НОД и НОК чисел, выраженных через степени простых чисел, используем следующие правила:

НОД (наибольший общий делитель):

• Для нахождения НОД двух чисел, выраженных через простые множители, нужно взять минимальные степени для общих простых множителей.

НОК (наименьшее общее кратное):

• Для нахождения НОК двух чисел, выраженных через простые множители, нужно взять максимальные степени для всех простых множителей, встречающихся в разложении чисел.

Теперь давайте рассмотрим каждую задачу подробно.

а) $2^{32}\cdot 3^4\cdot {11}^{31}$ и $2^{23}\cdot 3^7\cdot {11}^{14}$

Шаг 1: Нахождение НОД

Для нахождения НОД нужно взять минимальные степени общих простых множителей:

• Общие множители для чисел: $2$, $3$ и $11$.
• Для $2$, минимальная степень: $2^{23}$.
• Для $3$, минимальная степень: $3^4$.
• Для $11$, минимальная степень: ${11}^{14}$.

Перемножаем минимальные степени:

$$\text{НОД}=2^{23}\cdot 3^4\cdot {11}^{14}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Нахождение НОК

Для нахождения НОК нужно взять максимальные степени всех простых множителей:

• Для $2$, максимальная степень: $2^{32}$.
• Для $3$, максимальная степень: $3^7$.
• Для $11$, максимальная степень: ${11}^{31}$.

Перемножаем максимальные степени:

$$\text{НОК}=2^{32}\cdot 3^7\cdot {11}^{31}\mathrm{.}$$

Ответ:

• НОД $2^{32}\cdot 3^4\cdot {11}^{31}$ и $2^{23}\cdot 3^7\cdot {11}^{14}$ равен $2^{23}\cdot 3^4\cdot {11}^{14}$.
• НОК $2^{32}\cdot 3^4\cdot {11}^{31}$ и $2^{23}\cdot 3^7\cdot {11}^{14}$ равен $2^{32}\cdot 3^7\cdot {11}^{31}$.

б) $4^{24}\cdot 6^{14}\cdot 9^8$ и $8^{18}\cdot {10}^{17}\cdot {12}^{16}$

Шаг 1: Разложим числа на простые множители

Начнем с разложения каждого числа на простые множители:

1. $4=2^2$, $6=2\cdot 3$, $9=3^2$.
2. $8=2^3$, $10=2\cdot 5$, $12=2^2\cdot 3$.

Теперь разложим выражения на простые множители:

• $4^{24}=(2^2{)}^{24}=2^{48}$
• $6^{14}=(2\cdot 3{)}^{14}=2^{14}\cdot 3^{14}$
• $9^8=(3^2{)}^8=3^{16}$

Таким образом, для первого числа:

$$4^{24}\cdot 6^{14}\cdot 9^8=2^{48}\cdot 2^{14}\cdot 3^{14}\cdot 3^{16}=2^{62}\cdot 3^{30}\mathrm{.}$$

• $8^{18}=(2^3{)}^{18}=2^{54}$
• ${10}^{17}=(2\cdot 5{)}^{17}=2^{17}\cdot 5^{17}$
• ${12}^{16}=(2^2\cdot 3{)}^{16}=2^{32}\cdot 3^{16}$

Таким образом, для второго числа:

$$8^{18}\cdot {10}^{17}\cdot {12}^{16}=2^{54}\cdot 2^{17}\cdot 5^{17}\cdot 2^{32}\cdot 3^{16}=2^{103}\cdot 3^{16}\cdot 5^{17}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Нахождение НОД

Теперь найдем НОД, выбирая минимальные степени для общих простых множителей.

• Общие множители: $2$ и $3$.
• Для $2$, минимальная степень: $2^{54}$.
• Для $3$, минимальная степень: $3^{16}$.
• Множитель $5$ встречается только во втором числе, так что его в НОД не берем.

Перемножим минимальные степени:

$$\text{НОД}=2^{54}\cdot 3^{16}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Нахождение НОК

Теперь найдем НОК, выбирая максимальные степени всех простых множителей.

• Для $2$, максимальная степень: $2^{103}$.
• Для $3$, максимальная степень: $3^{30}$.
• Для $5$, максимальная степень: $5^{17}$.

Перемножим максимальные степени:

$$\text{НОК}=2^{103}\cdot 3^{30}\cdot 5^{17}\mathrm{.}$$

Ответ:

• НОД $4^{24}\cdot 6^{14}\cdot 9^8$ и $8^{18}\cdot {10}^{17}\cdot {12}^{16}$ равен $2^{54}\cdot 3^{16}$.
• НОК $4^{24}\cdot 6^{14}\cdot 9^8$ и $8^{18}\cdot {10}^{17}\cdot {12}^{16}$ равен $2^{103}\cdot 3^{30}\cdot 5^{17}$.

Итоговые ответы:

• а) НОД $2^{32}\cdot 3^4\cdot {11}^{31}$ и $2^{23}\cdot 3^7\cdot {11}^{14}$ равен $2^{23}\cdot 3^4\cdot {11}^{14}$, НОК равен $2^{32}\cdot 3^7\cdot {11}^{31}$.
• б) НОД $4^{24}\cdot 6^{14}\cdot 9^8$ и $8^{18}\cdot {10}^{17}\cdot {12}^{16}$ равен $2^{54}\cdot 3^{16}$, НОК равен $2^{103}\cdot 3^{30}\cdot 5^{17}$.