ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части

Алгебра Профильный Уровень

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.58 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

а) $x y = 15$ ;

б) $36 x^{2} - y^{2} = 27$ ;

в) $7 x y + 4 y^{2} = 11$ ;

г) $x^{2} - 7 x y + 6 y^{2} = 18$

Краткий ответ:

Найти все пары целых чисел $(x; y)$ , удовлетворяющих уравнению:

а) $x y = 15$ ;

Делители числа 15:

$1; 3; 5; 15;$

Числа $x$ и $y$ — целые, значит:

$x = \pm 15 и y = \pm 1;$ $x = \pm 5 и y = \pm 3;$ $x = \pm 3 и y = \pm 5;$ $x = \pm 1 и y = \pm 15;$

Ответ:

$(- 15; - 1); (- 5; - 3); (- 3; - 5); (- 1; - 15);$ $(1; 15); (3; 5); (5; 3); (15; 1) .$

б) $36 x^{2} - y^{2} = 27$ ;

$(6 x - y) (6 x + y) = 27;$

Делители числа 27:

$1; 3; 9; 27;$

Первая пара чисел:

$6 x - y = \pm 1 и 6 x + y = \pm 27;$ $12 x = \pm 28 — нет;$

Вторая пара чисел:

$6 x - y = 3 и 6 x + y = 9;$ $12 x = 12, отсюда x = 1;$ $y_{1} = 6 x - 3 = 6 - 3 = 3;$ $y_{2} = 6 x - 9 = 6 - 9 = - 3;$

Третья пара чисел:

$6 x - y = - 3 и 6 x + y = - 9;$ $12 x = - 12, отсюда x = - 1;$ $y_{1} = 6 x + 3 = - 6 + 3 = - 3;$ $y_{2} = 6 x + 9 = - 6 + 9 = 3;$

Ответ:

$(- 1; - 3); (- 1; 3); (1; - 3); (1; 3) .$

в) $7 x y + 4 y^{2} = 11$ ;

$y (7 x + 4 y) = 11;$

Делители числа 11:

$1; 11;$

Первая пара чисел:

$y = \pm 1 и 7 x + 4 y = \pm 11;$ $7 x \pm 4 = \pm 11;$ $7 x = \pm 7, отсюда x = \pm 1;$

Вторая пара чисел:

$y = \pm 11 и 7 x + 4 y = \pm 1;$ $7 x \pm 44 = \pm 1;$ $7 x = \pm 45 — нет;$

Ответ:

$(- 1; - 1); (1; 1) .$

г) $x^{2} - 7 x y + 6 y^{2} = 18$ ;

$x^{2} - x y - 6 x y + 6 y^{2} = 18;$ $x (x - y) - 6 y (x - y) = 18;$ $(x - 6 y) (x - y) = 18;$

Делители числа 18:

$1; 2; 3; 6; 9; 18;$

Первая пара чисел:

$x - 6 y = \pm 1 и x - y = \pm 18;$ $- 5 y = \pm 17 — нет;$

Вторая пара чисел:

$x - 6 y = \pm 2 и x - y = \pm 9;$ $- 5 y = \pm 7 — нет;$

Третья пара чисел:

$x - 6 y = \pm 3 и x - y = \pm 6;$ $- 5 y = \pm 3 — нет;$

Ответ: решений нет.

Подробный ответ:

а) Уравнение: $x y = 15$

Шаг 1: Разложение числа на делители

Для того чтобы решить уравнение $x y = 15$ , необходимо найти все делители числа 15. Это делается путем разложения числа 15 на простые множители:

$15 = 3 \cdot 5.$

Теперь находим все возможные пары целых чисел $x$ и $y$ , произведение которых равно 15:

Положительные делители 15: $1, 3, 5, 15$ .
Поскольку $x$ и $y$ могут быть как положительными, так и отрицательными числами, мы рассмотрим также их отрицательные значения.

Шаг 2: Возможные значения $x$ и $y$

Значения $x$ и $y$ могут быть такими, чтобы их произведение давало 15, то есть:

$x = \pm 15 и y = \pm 1,$ $x = \pm 5 и y = \pm 3,$ $x = \pm 3 и y = \pm 5,$ $x = \pm 1 и y = \pm 15.$

Ответ:

Все возможные пары целых чисел $(x, y)$ , удовлетворяющие уравнению $x y = 15$ :

$(- 15, - 1), (- 5, - 3), (- 3, - 5), (- 1, - 15), (1, 15), (3, 5), (5, 3), (15, 1) .$

б) Уравнение: $36 x^{2} - y^{2} = 27$

Шаг 1: Представление уравнения в виде произведения

Начнем с того, что преобразуем уравнение $36 x^{2} - y^{2} = 27$ в произведение двух выражений:

$(6 x - y) (6 x + y) = 27.$

Шаг 2: Делители числа 27

Теперь находим все делители числа 27:

$27 = 1 \cdot 3 \cdot 9 \cdot 27.$

Таким образом, мы можем представить уравнение в виде множества пар чисел:

$(6 x - y, 6 x + y) = (1, 27), (3, 9), (- 1, - 27), (- 3, - 9) .$

Шаг 3: Первая пара чисел $(6 x - y = \pm 1 и 6 x + y = \pm 27)$

Рассмотрим первую пару чисел $6 x - y = 1$ и $6 x + y = 27$ :

$6 x - y = 1, 6 x + y = 27.$

Складываем эти два уравнения:

$(6 x - y) + (6 x + y) = 1 + 27,$ $12 x = 28, x = \frac{28}{12} = \frac{7}{3} (нецелое число) .$

Так как $x$ не является целым числом, решение для этой пары чисел не подходит.

Шаг 4: Вторая пара чисел $(6 x - y = 3 и 6 x + y = 9)$

Теперь рассмотрим вторую пару чисел $6 x - y = 3$ и $6 x + y = 9$ :

$6 x - y = 3, 6 x + y = 9.$

Складываем эти два уравнения:

$(6 x - y) + (6 x + y) = 3 + 9,$ $12 x = 12, x = 1.$

Теперь подставим $x = 1$ в первое уравнение:

$6 (1) - y = 3, y = 3.$

Таким образом, одно из решений: $(x, y) = (1, 3)$ .

Рассмотрим еще вторую пару для этой системы $6 x - y = 3$ и $6 x + y = - 9$ :

$6 x - y = 3, 6 x + y = - 9.$

Складываем эти уравнения:

$(6 x - y) + (6 x + y) = 3 + (- 9),$ $12 x = - 6, x = - \frac{1}{2} (нецелое число) .$

Таким образом, для второй пары решений нет целых чисел.

Шаг 5: Третья пара чисел $(6 x - y = - 3 и 6 x + y = - 9)$

Теперь рассмотрим третью пару чисел $6 x - y = - 3$ и $6 x + y = - 9$ :

$6 x - y = - 3, 6 x + y = - 9.$

Складываем эти два уравнения:

$(6 x - y) + (6 x + y) = - 3 + (- 9),$ $12 x = - 12, x = - 1.$

Подставим $x = - 1$ в первое уравнение:

$6 (- 1) - y = - 3, - 6 - y = - 3, y = - 3.$

Таким образом, второе решение: $(x, y) = (- 1, - 3)$ .

Ответ:

Пары решений для уравнения $36 x^{2} - y^{2} = 27$ :

$(- 1, - 3), (- 1, 3), (1, - 3), (1, 3) .$

в) Уравнение: $7 x y + 4 y^{2} = 11$

Шаг 1: Преобразование уравнения

Исходное уравнение:

$7 x y + 4 y^{2} = 11$

Решим его для $y$ :

$y (7 x + 4 y) = 11.$

Шаг 2: Делители числа 11

Делители числа 11:

$1, 11.$

Рассмотрим две возможные пары для $y$ .

Шаг 3: Первая пара чисел $y = \pm 1$

Если $y = 1$ , то уравнение становится:

$7 x + 4 (1) = 11 \Rightarrow 7 x + 4 = 11 \Rightarrow 7 x = 7 \Rightarrow x = 1.$

Если $y = - 1$ , то уравнение становится:

$7 x + 4 (- 1) = 11 \Rightarrow 7 x - 4 = 11 \Rightarrow 7 x = 15 \Rightarrow x = \frac{15}{7} (нецелое число) .$

Таким образом, для $y = - 1$ решений нет.

Шаг 4: Ответ для $y = 1$

Таким образом, при $y = 1$ получаем решение $x = 1$ , то есть пара $(1, 1)$ .

Шаг 5: Вторая пара чисел $y = \pm 11$

Если $y = 11$ , то уравнение становится:

$7 x + 4 (11) = 11 \Rightarrow 7 x + 44 = 11 \Rightarrow 7 x = - 33 \Rightarrow$

$x = - \frac{33}{7} (нецелое число) .$

Если $y = - 11$ , то уравнение становится:

$7 x + 4 (- 11) = 11 \Rightarrow 7 x - 44 = 11 \Rightarrow 7 x = 55 \Rightarrow$

$x = \frac{55}{7} (нецелое число) .$

Для этих значений $x$ также решений нет.

Ответ:

Пара решений для уравнения $7 x y + 4 y^{2} = 11$ — это:

$(1, 1) .$

г) Уравнение: $x^{2} - 7 x y + 6 y^{2} = 18$

Шаг 1: Переписываем уравнение

Исходное уравнение:

$x^{2} - 7 x y + 6 y^{2} = 18$

Рассмотрим разложение:

$x^{2} - x y - 6 x y + 6 y^{2} = 18;$ $x (x - y) - 6 y (x - y) = 18;$ $(x - 6 y) (x - y) = 18;$

Шаг 2: Делители числа 18

Делители числа 18:

$1; 2; 3; 6; 9; 18.$

Шаг 3: Первая пара чисел $x - 6 y = \pm 1$

Рассмотрим пару $x - 6 y = 1$ и $x - y = 18$ :

$- 5 y = 17 — нет решений .$

Шаг 4: Вторая пара чисел $x - 6 y = \pm 2$

Рассмотрим пару $x - 6 y = 2$ и $x - y = 9$ :

$- 5 y = 7 — нет решений .$

Шаг 5: Третья пара чисел $x - 6 y = \pm 3$

Рассмотрим пару $x - 6 y = 3$ и $x - y = 6$ :

$- 5 y = 3 — нет решений .$

Ответ:

Решений нет.

Итоговые ответы:

а) Пары: $(- 15, - 1), (- 5, - 3), (- 3, - 5), (- 1, - 15), (1, 15), (3, 5), (5, 3), (15, 1)$ .
б) Пары: $(- 1, - 3), (- 1, 3), (1, - 3), (1, 3)$ .
в) Пара: $(1, 1)$ .
г) Решений нет.

Оцени решение