ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.58 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти все пары целых чисел $(x;y)$, удовлетворяющих уравнению:

а) $xy=15$;

Делители числа 15:

$$1;3;5;15;$$

Числа $x$ и $y$ — целые, значит:

$$x=\pm 15\text{ и }y=\pm 1;$$$$x=\pm 5\text{ и }y=\pm 3;$$$$x=\pm 3\text{ и }y=\pm 5;$$$$x=\pm 1\text{ и }y=\pm 15;$$

Ответ:

$$(-15;-1);(-5;-3);(-3;-5);(-1;-15);$$$$(1;15);(3;5);(5;3);(15;1)\mathrm{.}$$

б) $36x^2-y^2=27$;

$$(6x-y)(6x+y)=27;$$

Делители числа 27:

$$1;3;9;27;$$

Первая пара чисел:

$$6x-y=\pm 1\text{ и }6x+y=\pm 27;$$$$12x=\pm 28\text{ — нет};$$

Вторая пара чисел:

$$6x-y=3\text{ и }6x+y=9;$$$$12x=12,\text{ отсюда }x=1;$$$$y_1=6x-3=6-3=3;$$$$y_2=6x-9=6-9=-3;$$

Третья пара чисел:

$$6x-y=-3\text{ и }6x+y=-9;$$$$12x=-12,\text{ отсюда }x=-1;$$$$y_1=6x+3=-6+3=-3;$$$$y_2=6x+9=-6+9=3;$$

Ответ:

$$(-1;-3);(-1;3);(1;-3);(1;3)\mathrm{.}$$

в) $7xy+4y^2=11$;

$$y(7x+4y)=11;$$

Делители числа 11:

$$1;11;$$

Первая пара чисел:

$$y=\pm 1\text{ и }7x+4y=\pm 11;$$$$7x\pm 4=\pm 11;$$$$7x=\pm 7,\text{ отсюда }x=\pm 1;$$

Вторая пара чисел:

$$y=\pm 11\text{ и }7x+4y=\pm 1;$$$$7x\pm 44=\pm 1;$$$$7x=\pm 45\text{ — нет};$$

Ответ:

$$(-1;-1);(1;1)\mathrm{.}$$

г) $x^2-7xy+6y^2=18$;

$$x^2-xy-6xy+6y^2=18;$$$$x(x-y)-6y(x-y)=18;$$$$(x-6y)(x-y)=18;$$

Делители числа 18:

$$1;2;3;6;9;18;$$

Первая пара чисел:

$$x-6y=\pm 1\text{ и }x-y=\pm 18;$$$$-5y=\pm 17\text{ — нет};$$

Вторая пара чисел:

$$x-6y=\pm 2\text{ и }x-y=\pm 9;$$$$-5y=\pm 7\text{ — нет};$$

Третья пара чисел:

$$x-6y=\pm 3\text{ и }x-y=\pm 6;$$$$-5y=\pm 3\text{ — нет};$$

Ответ: решений нет.

а) Уравнение: $xy=15$

Шаг 1: Разложение числа на делители

Для того чтобы решить уравнение $xy=15$, необходимо найти все делители числа 15. Это делается путем разложения числа 15 на простые множители:

$$15=3\cdot 5.$$

Теперь находим все возможные пары целых чисел $x$ и $y$, произведение которых равно 15:

• Положительные делители 15: $1,3,5,15$.
• Поскольку $x$ и $y$ могут быть как положительными, так и отрицательными числами, мы рассмотрим также их отрицательные значения.

Шаг 2: Возможные значения $x$ и $y$

Значения $x$ и $y$ могут быть такими, чтобы их произведение давало 15, то есть:

$$x=\pm 15\text{и}y=\pm 1,$$$$x=\pm 5\text{и}y=\pm 3,$$$$x=\pm 3\text{и}y=\pm 5,$$$$x=\pm 1\text{и}y=\pm 15.$$

Ответ:

Все возможные пары целых чисел $(x,y)$, удовлетворяющие уравнению $xy=15$:

$$(-15,-1),(-5,-3),(-3,-5),(-1,-15),(1,15),(3,5),(5,3),(15,1)\mathrm{.}$$

б) Уравнение: $36x^2-y^2=27$

Шаг 1: Представление уравнения в виде произведения

Начнем с того, что преобразуем уравнение $36x^2-y^2=27$ в произведение двух выражений:

$$(6x-y)(6x+y)=27.$$

Шаг 2: Делители числа 27

Теперь находим все делители числа 27:

$$27=1\cdot 3\cdot 9\cdot 27.$$

Таким образом, мы можем представить уравнение в виде множества пар чисел:

$$(6x-y,6x+y)=(1,27),(3,9),(-1,-27),(-3,-9)\mathrm{.}$$

Шаг 3: Первая пара чисел $(6x-y=\pm 1\text{ и }6x+y=\pm 27)$

Рассмотрим первую пару чисел $6x-y=1$ и $6x+y=27$:

$$6x-y=1,6x+y=27.$$

Складываем эти два уравнения:

$$(6x-y)+(6x+y)=1+27,$$$$12x=28,x=\frac{28}{12}=\frac{7}{3}\text{ (нецелое число)}\mathrm{.}$$

Так как $x$ не является целым числом, решение для этой пары чисел не подходит.

Шаг 4: Вторая пара чисел $(6x-y=3\text{ и }6x+y=9)$

Теперь рассмотрим вторую пару чисел $6x-y=3$ и $6x+y=9$:

$$6x-y=3,6x+y=9.$$

Складываем эти два уравнения:

$$(6x-y)+(6x+y)=3+9,$$$$12x=12,x=1.$$

Теперь подставим $x=1$ в первое уравнение:

$$6(1)-y=3,y=3.$$

Таким образом, одно из решений: $(x,y)=(1,3)$.

Рассмотрим еще вторую пару для этой системы $6x-y=3$ и $6x+y=-9$:

$$6x-y=3,6x+y=-9.$$

Складываем эти уравнения:

$$(6x-y)+(6x+y)=3+(-9),$$$$12x=-6,x=-\frac{1}{2}\text{ (нецелое число)}\mathrm{.}$$

Таким образом, для второй пары решений нет целых чисел.

Шаг 5: Третья пара чисел $(6x-y=-3\text{ и }6x+y=-9)$

Теперь рассмотрим третью пару чисел $6x-y=-3$ и $6x+y=-9$:

$$6x-y=-3,6x+y=-9.$$

Складываем эти два уравнения:

$$(6x-y)+(6x+y)=-3+(-9),$$$$12x=-12,x=-1.$$

Подставим $x=-1$ в первое уравнение:

$$6(-1)-y=-3,-6-y=-3,y=-3.$$

Таким образом, второе решение: $(x,y)=(-1,-3)$.

Ответ:

Пары решений для уравнения $36x^2-y^2=27$:

$$(-1,-3),(-1,3),(1,-3),(1,3)\mathrm{.}$$

в) Уравнение: $7xy+4y^2=11$

Шаг 1: Преобразование уравнения

Исходное уравнение:

$$7xy+4y^2=11$$

Решим его для $y$:

$$y(7x+4y)=11.$$

Шаг 2: Делители числа 11

Делители числа 11:

$$1,11.$$

Рассмотрим две возможные пары для $y$.

Шаг 3: Первая пара чисел $y=\pm 1$

Если $y=1$, то уравнение становится:

$$7x+4(1)=11\Rightarrow 7x+4=11\Rightarrow 7x=7\Rightarrow x=1.$$

Если $y=-1$, то уравнение становится:

$$7x+4(-1)=11\Rightarrow 7x-4=11\Rightarrow 7x=15\Rightarrow x=\frac{15}{7}\text{ (нецелое число)}\mathrm{.}$$

Таким образом, для $y=-1$ решений нет.

Шаг 4: Ответ для $y=1$

Таким образом, при $y=1$ получаем решение $x=1$, то есть пара $(1,1)$.

Шаг 5: Вторая пара чисел $y=\pm 11$

Если $y=11$, то уравнение становится:

$$7x+4(11)=11\Rightarrow 7x+44=11\Rightarrow 7x=-33\Rightarrow$$

$$x=-\frac{33}{7}\text{ (нецелое число)}\mathrm{.}$$

Если $y=-11$, то уравнение становится:

$$7x+4(-11)=11\Rightarrow 7x-44=11\Rightarrow 7x=55\Rightarrow$$

$$x=\frac{55}{7}\text{ (нецелое число)}\mathrm{.}$$

Для этих значений $x$ также решений нет.

Ответ:

Пара решений для уравнения $7xy+4y^2=11$ — это:

$$(1,1)\mathrm{.}$$

г) Уравнение: $x^2-7xy+6y^2=18$

Шаг 1: Переписываем уравнение

Исходное уравнение:

$$x^2-7xy+6y^2=18$$

Рассмотрим разложение:

$$x^2-xy-6xy+6y^2=18;$$$$x(x-y)-6y(x-y)=18;$$$$(x-6y)(x-y)=18;$$

Шаг 2: Делители числа 18

Делители числа 18:

$$1;2;3;6;9;18.$$

Шаг 3: Первая пара чисел $x-6y=\pm 1$

Рассмотрим пару $x-6y=1$ и $x-y=18$:

$$-5y=17\text{ — нет решений}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Вторая пара чисел $x-6y=\pm 2$

Рассмотрим пару $x-6y=2$ и $x-y=9$:

$$-5y=7\text{ — нет решений}\mathrm{.}$$

Шаг 5: Третья пара чисел $x-6y=\pm 3$

Рассмотрим пару $x-6y=3$ и $x-y=6$:

$$-5y=3\text{ — нет решений}\mathrm{.}$$

Ответ:

Решений нет.

Итоговые ответы:

• а) Пары: $(-15,-1),(-5,-3),(-3,-5),(-1,-15),(1,15),(3,5),(5,3),(15,1)$.
• б) Пары: $(-1,-3),(-1,3),(1,-3),(1,3)$.
• в) Пара: $(1,1)$.
• г) Решений нет.