ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Если $n:p$, то $(n\cdot m):p$ для любого натурального $m$.

$n:p$, значит $n=p{q}_1$, где $q_1\in \mathbb{N}$;

$$\frac{n\cdot m}{p}=\frac{p{q}_{1}m}{p}=m{q}_1\in \mathbb{N};$$

Что и требовалось доказать.

б) Если $x:5$, то $3x:15$;

$$\frac{3x}{15}=\frac{3x}{3\cdot 5}=\frac{x}{5}\in \mathbb{Z};$$

Что и требовалось доказать.

в) Если $x:7$ и $y:3$, то $(xy+14y):21$;

$$\frac{xy+14y}{21}=\frac{y(x+14)}{3\cdot 7}=\frac{y}{3}\cdot \frac{x+14}{7}=\frac{y}{3}\cdot (\frac{x}{7}+2)\in \mathbb{Z};$$

Что и требовалось доказать.

г) Если $x:17$ и $y:4$, то $(2xy-34y):136$;

$$\frac{2xy-34y}{136}=\frac{2y(x-17)}{2^2\cdot 4\cdot 17}=\frac{y}{4}\cdot \frac{x-17}{17}=\frac{y}{4}\cdot (\frac{x}{17}-1)\in \mathbb{Z};$$

Что и требовалось доказать.

а) Если $n:p$, то $(n\cdot m):p$ для любого натурального $m$.

Дано: $n:p$, то есть $n$ делится на $p$, и нужно доказать, что $n\cdot m$ делится на $p$ для любого натурального $m$.

1. Из условия $n:p$ следует, что $n=p\cdot q_1$, где $q_1\in \mathbb{N}$. Это определение делимости, то есть $n$ является кратным $p$, а $q_1$ — это некоторое натуральное число, на которое делится $n$.
2. Мы должны показать, что $n\cdot m$ делится на $p$, то есть доказать, что:$$\frac{n\cdot m}{p}\in \mathbb{N}$$
3. Подставим в выражение для $n$ из шага 1:$$\frac{n\cdot m}{p}=\frac{(p\cdot q_1)\cdot m}{p}$$
4. Упростим выражение, вынеся $p$ за скобки:$$=\frac{p\cdot q_1\cdot m}{p}=q_1\cdot m$$
5. Так как $q_1\in \mathbb{N}$, то произведение $q_1\cdot m$ также будет натуральным числом, потому что произведение двух натуральных чисел всегда натурально.
6. Таким образом, $\frac{n\cdot m}{p}=q_1\cdot m\in \mathbb{N}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $(n\cdot m):p$ для любого $m$.

б) Если $x:5$, то $3x:15$.

Дано: $x:5$, то есть $x$ делится на 5, и нужно доказать, что $3x$ делится на 15.

1. Из условия $x:5$ следует, что $x=5\cdot k$, где $k\in \mathbb{N}$. То есть $x$ — это кратное 5.
2. Мы должны доказать, что $3x$ делится на 15, то есть:$$\frac{3x}{15}\in \mathbb{Z}$$
3. Подставим значение $x$ из шага 1:$$\frac{3x}{15}=\frac{3\cdot (5\cdot k)}{15}$$
4. Упростим выражение:$$=\frac{3\cdot 5\cdot k}{15}=\frac{15\cdot k}{15}$$
5. Упростим дробь:$$=k$$
6. Поскольку $k\in \mathbb{N}$, то $k\in \mathbb{Z}$, так как все натуральные числа являются целыми.
7. Таким образом, $\frac{3x}{15}=k\in \mathbb{Z}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $3x:15$.

в) Если $x:7$ и $y:3$, то $(xy+14y):21$.

Дано: $x:7$ и $y:3$, то есть $x$ делится на 7, а $y$ — на 3, и нужно доказать, что $xy+14y$ делится на 21.

1. Из условий $x:7$ и $y:3$ следует, что $x=7\cdot a$ и $y=3\cdot b$, где $a\in \mathbb{N}$ и $b\in \mathbb{N}$.
2. Мы должны доказать, что $xy+14y$ делится на 21, то есть:$$\frac{xy+14y}{21}\in \mathbb{Z}$$
3. Подставим значения $x=7\cdot a$ и $y=3\cdot b$ в выражение $xy+14y$:$$xy+14y=(7\cdot a)\cdot (3\cdot b)+14\cdot (3\cdot b)$$
4. Упростим выражение:$$=21\cdot a\cdot b+42\cdot b$$
5. Вынесем общий множитель $21\cdot b$:$$=21\cdot b\cdot (a+2)$$
6. Теперь выразим дробь:$$\frac{xy+14y}{21}=\frac{21\cdot b\cdot (a+2)}{21}$$
7. Упростим дробь:$$=b\cdot (a+2)$$
8. Поскольку $b\in \mathbb{N}$ и $a+2\in \mathbb{N}$, то их произведение $b\cdot (a+2)$ также является целым числом, то есть $\frac{xy+14y}{21}\in \mathbb{Z}$.

Ответ: Доказано, что $(xy+14y):21$.

г) Если $x:17$ и $y:4$, то $(2xy-34y):136$.

Дано: $x:17$ и $y:4$, то есть $x$ делится на 17, а $y$ — на 4, и нужно доказать, что $2xy-34y$ делится на 136.

1. Из условий $x:17$ и $y:4$ следует, что $x=17\cdot c$ и $y=4\cdot d$, где $c\in \mathbb{N}$ и $d\in \mathbb{N}$.
2. Мы должны доказать, что $2xy-34y$ делится на 136, то есть:$$\frac{2xy-34y}{136}\in \mathbb{Z}$$
3. Подставим значения $x=17\cdot c$ и $y=4\cdot d$ в выражение $2xy-34y$:$$2xy-34y=2\cdot (17\cdot c)\cdot (4\cdot d)-34\cdot (4\cdot d)$$
4. Упростим выражение:$$=136\cdot c\cdot d-136\cdot d$$
5. Вынесем общий множитель $136\cdot d$:$$=136\cdot d\cdot (c-1)$$
6. Теперь выразим дробь:$$\frac{2xy-34y}{136}=\frac{136\cdot d\cdot (c-1)}{136}$$
7. Упростим дробь:$$=d\cdot (c-1)$$
8. Поскольку $d\in \mathbb{N}$ и $c-1\in \mathbb{N}$, то их произведение $d\cdot (c-1)$ является целым числом, то есть $\frac{2xy-34y}{136}\in \mathbb{Z}$.

Ответ: Доказано, что $(2xy-34y):136$.