ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Разность квадратов любых натуральных различных чисел делится на их сумму и на их разность;

б) разность любых натуральных различных чисел является делителем разности их кубов.

а) Если $x\in \mathbb{N}$ и $y\in \mathbb{N}$, тогда $(x^2-y^2)÷(x\pm y)$;

$$\frac{x^2-y^2}{x-y}=\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}=(x+y)\in \mathbb{N};$$$$\frac{x^2-y^2}{x+y}=\frac{(x-y)(x+y)}{x+y}=(x-y)\in \mathbb{N};$$

Что и требовалось доказать.

б) Если $x\in \mathbb{N}$ и $y\in \mathbb{N}$, тогда $(x^3-y^3)÷(x-y)$;

$$\frac{x^3-y^3}{x-y}=\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y}=(x^2+xy+y^2)\in \mathbb{N};$$

Что и требовалось доказать.

а) Если $x\in \mathbb{N}$ и $y\in \mathbb{N}$, тогда $(x^2-y^2)÷(x\pm y)$.

Доказательство для выражения $\frac{x^2-y^2}{x-y}$:

Исходное выражение:

$$\frac{x^2-y^2}{x-y}$$

Распишем разность квадратов:

Мы знаем формулу разности квадратов:

$$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$$

Подставим это в выражение:

$$\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}$$

Упрощение:

Теперь видим, что в числителе и знаменателе есть общий множитель $(x-y)$, который можно сократить. Однако важно помнить, что сокращение возможно только в том случае, если $x\mathrm{\ne }y$, так как при $x=y$ знаменатель становится равным нулю, а деление на ноль невозможно.

После сокращения получаем:

$$x+y$$

Проверка, что результат лежит в $\mathbb{N}$:

Поскольку $x\in \mathbb{N}$ и $y\in \mathbb{N}$, то $x+y$ также обязательно принадлежит множеству натуральных чисел, то есть $x+y\in \mathbb{N}$.

Заключение:

Таким образом, мы доказали, что:

$$\frac{x^2-y^2}{x-y}=x+y\in \mathbb{N}$$

Что и требовалось доказать.

Доказательство для выражения $\frac{x^2-y^2}{x+y}$:

Исходное выражение:

$$\frac{x^2-y^2}{x+y}$$

Распишем разность квадратов:

Как и в предыдущем случае, используем формулу разности квадратов:

$$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$$

Подставим это в выражение:

$$\frac{(x-y)(x+y)}{x+y}$$

Упрощение:

В числителе и знаменателе снова присутствует общий множитель $(x+y)$, который можно сократить, но только в случае, если $x+y\mathrm{\ne }0$. Так как $x\in \mathbb{N}$ и $y\in \mathbb{N}$, то $x+y\mathrm{\ne }0$, и мы можем безопасно выполнить сокращение:

$$x-y$$

Проверка, что результат лежит в $\mathbb{N}$:

Если $x\in \mathbb{N}$ и $y\in \mathbb{N}$, то $x-y$ может быть как положительным, так и равным нулю. Однако важно заметить, что:

• Если $x>y$, то $x-y>0$, и результат будет положительным числом.
• Если $x=y$, то $x-y=0$, и результат равен нулю, который, как правило, не относят к натуральным числам в строгом математическом смысле, но иногда в некоторых контекстах $0$ может рассматриваться как элемент множества натуральных чисел.
• Если $x<y$, то $x-y<0$, и результат будет отрицательным числом, что противоречит определению натуральных чисел.

Таким образом, в случае, если $x\ge y$, результат $x-y$ будет принадлежать множеству $\mathbb{N}$.

Заключение:

Мы доказали, что:

$$\frac{x^2-y^2}{x+y}=x-y\in \mathbb{N}\text{при условии, что}x\ge y$$

Что и требовалось доказать.

б) Если $x\in \mathbb{N}$ и $y\in \mathbb{N}$, тогда $(x^3-y^3)÷(x-y)$.

Доказательство:

Исходное выражение:

$$\frac{x^3-y^3}{x-y}$$

Распишем разность кубов:

Используем формулу разности кубов:

$$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$$

Подставим это в выражение:

$$\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y}$$

Упрощение:

Как и в предыдущих случаях, числитель и знаменатель содержат общий множитель $(x-y)$, который можно сократить. Сокращение возможно при $x\mathrm{\ne }y$, так как при $x=y$ знаменатель становится равным нулю. После сокращения получаем:

$$x^2+xy+y^2$$

Проверка, что результат лежит в $\mathbb{N}$:

Поскольку $x\in \mathbb{N}$ и $y\in \mathbb{N}$, все элементы выражения $x^2+xy+y^2$ будут натуральными числами, и их сумма также будет натуральным числом. Следовательно, результат $x^2+xy+y^2\in \mathbb{N}$.

Заключение:

Таким образом, мы доказали, что:

$$\frac{x^3-y^3}{x-y}=x^2+xy+y^2\in \mathbb{N}$$

Что и требовалось доказать.