ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Выразить $x$ через $y$ из равенства $y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$.

Преобразуем данную функцию:

$$y = \frac{x^2}{x^2 + 1};$$ $$y(x^2 + 1) = x^2;$$ $$yx^2 + y = x^2;$$ $$x^2 — yx^2 = y;$$ $$x^2(1 — y) = y;$$ $$x^2 = \frac{y}{1 — y};$$ $$x = \pm \sqrt{\frac{y}{1 — y}};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\frac{y}{1 — y} \geq 0;$$ $$y(1 — y) \geq 0;$$ $$y(y — 1) \leq 0;$$ $$0 \leq y < 1;$$

а) Если $x \geq 0$:

$$\text{Ответ: } x = \sqrt{\frac{y}{1 — y}}, \text{ при } 0 \leq y < 1.$$

б) Если $x \leq 0$:

$$\text{Ответ: } x = -\sqrt{\frac{y}{1 — y}}, \text{ при } 0 \leq y < 1.$$

в) Если $x \geq 2$:

$$x = +\sqrt{\frac{y}{1 — y}};$$

Решим неравенство:

$$\sqrt{\frac{y}{1 — y}} \geq 2;$$ $$\frac{y}{1 — y} \geq 4;$$ $$y \geq 4(1 — y);$$ $$y \geq 4 — 4y;$$ $$5y \geq 4;$$ $$y \geq 0.8;$$ $$\text{Ответ: } x = \sqrt{\frac{y}{1 — y}}, \text{ при } 0.8 \leq y < 1.$$

г) Если $x \leq -0.21$:

$$x = -\sqrt{\frac{y}{1 — y}};$$

Решим неравенство:

$$-\sqrt{\frac{y}{1 — y}} \leq -0.21;$$ $$\sqrt{\frac{y}{1 — y}} \geq \frac{21}{100};$$ $$\frac{y}{1 — y} \geq \frac{441}{10000};$$ $$10000y \geq 441(1 — y);$$ $$10000y \geq 441 — 441y;$$ $$10441y \geq 441;$$ $$y \geq \frac{441}{10441};$$ $$\text{Ответ: } x = -\sqrt{\frac{y}{1 — y}}, \text{ при } \frac{441}{10441} \leq y < 1.$$

Нам нужно выразить $x$ через $y$ из равенства:

$$y = \frac{x^2}{x^2 + 1}.$$

Шаг 1: Извлечение $x$ из исходного уравнения

Начнём с исходного уравнения:

$$y = \frac{x^2}{x^2 + 1}.$$

Умножим обе части уравнения на $x^2 + 1$, чтобы избавиться от дроби:

$$y(x^2 + 1) = x^2.$$

Раскроем скобки:

$$yx^2 + y = x^2.$$

Переносим все слагаемые с $x^2$ в одну сторону, а остальные — в другую:

$$yx^2 — x^2 = -y.$$

Вынесем $x^2$ за скобки:

$$x^2(y — 1) = -y.$$

Из этого выражения найдём $x^2$:

$$x^2 = \frac{-y}{y — 1}.$$

Обратите внимание, что при этом знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $y \neq 1$.

Теперь найдём $x$, взяв квадратный корень из обеих частей:

$$x = \pm \sqrt{\frac{-y}{y — 1}}.$$

Мы получили выражение для $x$, но оно содержит отрицательное число в числителе, так что нужно переработать его, чтобы избежать отрицательных подкоренных выражений.

Шаг 2: Упростим выражение для $x$

Вынесем минус из дроби:

$$x = \pm \sqrt{\frac{y}{1 — y}}.$$

Это и есть искомое выражение для $x$ через $y$.

Шаг 3: Определение области допустимых значений

Для того чтобы выражение для $x$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть:

$$\frac{y}{1 — y} \geq 0.$$

Это условие означает, что $y$ должно удовлетворять определённым ограничениям. Рассмотрим это неравенство:

Перепишем его как:

$$y(1 — y) \geq 0.$$

Раскроем скобки:

$$y — y^2 \geq 0.$$

Перепишем это неравенство в виде:

$$y(1 — y) \geq 0.$$

Это неравенство будет выполнено, если $0 \leq y < 1$.

Итак, область определения для $y$ — это $0 \leq y < 1$.

Шаг 4: Разделим решение на случаи

Теперь рассмотрим различные случаи для $x$.

а) Если $x \geq 0$

Если $x \geq 0$, то:

$$x = \sqrt{\frac{y}{1 — y}}, \quad \text{при} \quad 0 \leq y < 1.$$

Ответ:

$$x = \sqrt{\frac{y}{1 — y}}, \quad \text{при} \quad 0 \leq y < 1.$$

б) Если $x \leq 0$

Если $x \leq 0$, то:

$$x = -\sqrt{\frac{y}{1 — y}}, \quad \text{при} \quad 0 \leq y < 1.$$

Ответ:

$$x = -\sqrt{\frac{y}{1 — y}}, \quad \text{при} \quad 0 \leq y < 1.$$

в) Если $x \geq 2$

Теперь найдём область значений $y$, при которых $x \geq 2$. Для этого решим неравенство:

$$\sqrt{\frac{y}{1 — y}} \geq 2.$$

Возведем обе части неравенства в квадрат:

$$\frac{y}{1 — y} \geq 4.$$

Переносим все в одну сторону:

$$y \geq 4(1 — y).$$

Раскроем скобки:

$$y \geq 4 — 4y.$$

Переносим все слагаемые с $y$ в одну сторону:

$$5y \geq 4.$$

Разделим обе части на 5:

$$y \geq \frac{4}{5} = 0.8.$$

Ответ:

$$x = \sqrt{\frac{y}{1 — y}}, \quad \text{при} \quad 0.8 \leq y < 1.$$

г) Если $x \leq -0.21$

Теперь решим неравенство для $x \leq -0.21$:

$$-\sqrt{\frac{y}{1 — y}} \leq -0.21.$$

Умножим обе части неравенства на $-1$ (не забываем изменить знак неравенства):

$$\sqrt{\frac{y}{1 — y}} \geq 0.21.$$

Возведем обе части неравенства в квадрат:

$$\frac{y}{1 — y} \geq \frac{441}{10000}.$$

Умножим обе части на 10000:

$$10000y \geq 441(1 — y).$$

Раскроем скобки:

$$10000y \geq 441 — 441y.$$

Переносим все слагаемые с $y$ в одну сторону:

$$10441y \geq 441.$$

Разделим обе части на 10441:

$$y \geq \frac{441}{10441}.$$

Ответ:

$$x = -\sqrt{\frac{y}{1 — y}}, \quad \text{при} \quad \frac{441}{10441} \leq y < 1.$$

Итоговые ответы:

1. $x = \sqrt{\frac{y}{1 — y}}, \quad 0 \leq y < 1$, если $x \geq 0$.
2. $x = -\sqrt{\frac{y}{1 — y}}, \quad 0 \leq y < 1$, если $x \leq 0$.
3. $x = \sqrt{\frac{y}{1 — y}}, \quad 0.8 \leq y < 1$, если $x \geq 2$.
4. $x = -\sqrt{\frac{y}{1 — y}}, \quad \frac{441}{10441} \leq y < 1$, если $x \leq -0.21$.