ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

у = (x + 3)² — 2:

а) на R;

б) на [-3; $+\mathrm{\infty }$);

в) на ($-\mathrm{\infty }$; -3];

г) на [-4; 4].

У квадратичной функции обратная функция может существовать только на промежутках, содержащих одну ветвь параболы;

Дана функция:
$y = (x + 3)^2 — 2 = x^2 + 6x + 9 — 2 = x^2 + 6x + 7;$
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3;$
$a > 0 \text{ — ветви направлены вверх; }$

а) На множестве $R$ обратной функции не существует;
Ответ: нет.

б) На промежутке $[-3; +\infty)$:

Множество значений функции:

$$y_{\text{min}} = y(-3) = (-3 + 3)^2 — 2 = 0^2 — 2 = -2;$$ $$E(f) = [-2; +\infty);$$

Функция, обратная данной:

$$x = (y + 3)^2 — 2;$$ $$(y + 3)^2 = x + 2;$$ $$y + 3 = \sqrt{x + 2};$$ $$y = \sqrt{x + 2} — 3, \text{ где } x \geq -2;$$ $$x_0 = -2 \text{ и } y_0 = -3;$$

График обратной функции:

Ответ: $y = \sqrt{x + 2} — 3; D(y) = [-2; +\infty); E(y) = [-3; +\infty).$

в) На промежутке $(-∞; -3]$:

Множество значений функции:

$$y_{\text{min}} = y(-3) = (-3 + 3)^2 — 2 = 0^2 — 2 = -2;$$ $$E(f) = [-2; +\infty);$$

Функция, обратная данной:

$$x = (y + 3)^2 — 2;$$ $$(y + 3)^2 = x + 2;$$ $$y + 3 = -\sqrt{x + 2};$$ $$y = -\sqrt{x + 2} — 3, \text{ где } x \geq -2;$$ $$x_0 = -2 \text{ и } y_0 = -3;$$

График обратной функции:

Ответ: $y = -\sqrt{x + 2} — 3; D(y) = [-2; +\infty); E(y) = (-\infty; -3].$

г) На промежутке $[-4; 4]$ обратной функции не существует;
Ответ: нет.

Квадратичная функция:

$$y = (x + 3)^2 — 2$$

Преобразуем её в стандартную форму:

$$y = x^2 + 6x + 9 — 2 = x^2 + 6x + 7$$

Таким образом, функция принимает вид:

$$y = x^2 + 6x + 7$$

Теперь определим ключевые параметры этой функции.

1. Вершина параболы:

Для квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ вершина находится в точке:

$$x_0 = -\frac{b}{2a}$$

В нашем случае $a = 1$, $b = 6$, так что:

$$x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$$

Теперь найдём значение функции в вершине:

$$y_0 = (-3)^2 + 6(-3) + 7 = 9 — 18 + 7 = -2$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-3, -2)$.

2. Направление ветвей:

Поскольку коэффициент $a = 1 > 0$, то парабола открывается вверх.

3. Область определения:

Область определения функции — вся действительная прямая $\mathbb{R}$, так как это квадратичная функция, которая определена для всех значений $x \in \mathbb{R}$.

4. Область значений функции:

Парабола открывается вверх, а её вершина имеет значение $y_0 = -2$. Следовательно, функция достигает минимального значения $-2$ в вершине, и на всех значениях $x \geq -3$ функция будет возрастать. Таким образом, область значений функции будет:

$$E(f) = [-2; +\infty)$$

Теперь давайте рассмотрим задачу на промежутках.

1. Разбор по промежуткам:

а) На множестве $\mathbb{R}$ обратной функции не существует

Для квадратичной функции на всей области $\mathbb{R}$ не существует обратной функции. Это связано с тем, что функция не является взаимно однозначной: для одного и того же значения $y > -2$ существует два значения $x$. Например, для $y = 4$ есть два значения $x = 1$ и $x = -5$, которые дают одинаковое значение $y = 4$.

Ответ: нет, на множестве $\mathbb{R}$ обратной функции не существует.

б) На промежутке $[-3; +\infty)$

Этот промежуток включает только одну ветвь параболы (ветвь, направленную вверх), и на нем функция является монотонной (возрастающей). Поэтому мы можем найти её обратную функцию на этом промежутке.

1) Множество значений функции:

Для функции на промежутке $[-3; +\infty)$:

• Минимальное значение функции при $x = -3$:

  $$y_{\text{min}} = y(-3) = (-3 + 3)^2 — 2 = 0^2 — 2 = -2$$

• Функция будет возрастать на промежутке $[-3; +\infty)$, и её значения будут идти от $-2$ до $+\infty$.

Множество значений функции на этом промежутке:

$$E(f) = [-2; +\infty)$$

2) Нахождение обратной функции:

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$:

$$y = (x + 3)^2 — 2$$ $$y + 2 = (x + 3)^2$$ $$x + 3 = \sqrt{y + 2}$$ $$x = \sqrt{y + 2} — 3$$

Так как на промежутке $[-3; +\infty)$ $x$ всегда больше или равен $-3$, то обратная функция будет иметь вид:

$$y = \sqrt{x + 2} — 3, \quad \text{где} \quad x \geq -2.$$

3) Таблица значений функции и её обратной:

Рассмотрим таблицу значений для функции и её обратной.

4) График обратной функции:

График функции $y = \sqrt{x + 2} — 3$ будет частью параболы, направленной вверх, с областью определения $D(y) = [-2; +\infty)$ и областью значений $E(y) = [-3; +\infty)$.

Ответ:
$y = \sqrt{x + 2} — 3; D(y) = [-2; +\infty); E(y) = [-3; +\infty).$

в) На промежутке $(-∞; -3]$

На данном промежутке функция также является монотонной (убывающей), и на нем можно найти обратную функцию.

1) Множество значений функции:

Для функции на промежутке $(-\infty; -3]$:

• Минимальное значение функции при $x = -3$:

  $$y_{\text{min}} = y(-3) = (-3 + 3)^2 — 2 = 0^2 — 2 = -2$$

• Функция будет убывать на промежутке $(-\infty; -3]$, и её значения будут идти от $-2$ до $-\infty$.

Множество значений функции на этом промежутке:

$$E(f) = [-2; +\infty)$$

2) Нахождение обратной функции:

Для нахождения обратной функции выразим $x$ через $y$:

$$y = (x + 3)^2 — 2$$ $$y + 2 = (x + 3)^2$$ $$x + 3 = -\sqrt{y + 2}$$ $$x = -\sqrt{y + 2} — 3$$

На промежутке $(-\infty; -3]$ $x$ всегда меньше или равен $-3$, поэтому обратная функция будет:

$$y = -\sqrt{x + 2} — 3, \quad \text{где} \quad x \geq -2.$$

3) Таблица значений функции и её обратной:

Рассмотрим таблицу значений для функции и её обратной.

4) График обратной функции:

График функции $y = -\sqrt{x + 2} — 3$ будет частью параболы, направленной вниз, с областью определения $D(y) = [-2; +\infty)$ и областью значений $E(y) = (-\infty; -3]$.

Ответ:
$y = -\sqrt{x + 2} — 3; D(y) = [-2; +\infty); E(y) = (-\infty; -3].$

г) На промежутке $[-4; 4]$ обратной функции не существует

На промежутке $[-4; 4]$ функция $y = (x + 3)^2 — 2$ не является взаимно однозначной, так как для значения $y = 4$ есть два значения $x = 1$ и $x = -5$, что нарушает уникальность. Поэтому обратная функция не существует на этом промежутке.

Ответ: нет, на промежутке $[-4; 4]$ обратной функции не существует.

Итоговый ответ:

а) На множестве $\mathbb{R}$ обратной функции не существует. Ответ: нет.

б) На промежутке $[-3; +\infty)$ обратная функция существует. Ответ: $y = \sqrt{x + 2} — 3; D(y) = [-2; +\infty); E(y) = [-3; +\infty)$.

в) На промежутке $(-∞; -3]$ обратная функция существует. Ответ: $y = -\sqrt{x + 2} — 3; D(y) = [-2; +\infty); E(y) = (-\infty; -3]$.

г) На промежутке $[-4; 4]$ обратной функции не существует. Ответ: нет.