ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

У квадратичной функции обратная функция может существовать только на промежутках, содержащих одну ветвь параболы;

Дана функция:
$y = x^2 — 4x + 18 = x^2 — 4x + 4 + 14 = (x — 2)^2 + 14;$
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2;$
$a > 0$ — ветви направлены вверх;

а) На множестве $R$ обратной функции не существует;
Ответ: нет.

б) На промежутке $[2; +\infty)$:

Множество значений функции:

$$y_{\text{min}} = y(2) = (2 — 2)^2 + 14 = 0^2 + 14 = 14;$$ $$E(f) = [14; +\infty);$$

Функция, обратная данной:

$$x = (y — 2)^2 + 14;$$ $$(y — 2)^2 = x — 14;$$ $$y — 2 = \sqrt{x — 14};$$ $$y = \sqrt{x — 14} + 2, \text{ где } x \geq 14;$$ $$x_0 = 14 \text{ и } y_0 = 2;$$

График обратной функции:

Ответ: $y = \sqrt{x — 14} + 2;$ $D(y) = [14; +\infty);$ $E(y) = [2; +\infty).$

в) На промежутке $(-∞; 0]$:

Множество значений функции:

$$y_{\text{min}} = y(0) = (0 — 2)^2 + 14 = 4 + 14 = 18;$$ $$E(f) = [18; +\infty);$$

Функция, обратная данной:

$$x = (y — 2)^2 + 14;$$ $$(y — 2)^2 = x — 14;$$ $$y — 2 = -\sqrt{x — 14};$$ $$y = 2 — \sqrt{x — 14}, \text{ где } x \geq 18;$$ $$x_0 = 14 \text{ и } y_0 = 2;$$

График обратной функции:

Ответ: $y = 2 — \sqrt{x — 14};$ $D(y) = [18; +\infty);$ $E(y) = (-\infty; 0].$

г) На промежутке $(-∞; 3)$ обратной функции не существует;
Ответ: нет.

Квадратичная функция:

$$y = x^2 — 4x + 18$$

Мы преобразуем её в стандартный вид, чтобы лучше понять её структуру. Для этого выделим полный квадрат:

$$y = x^2 — 4x + 18 = (x^2 — 4x + 4) + 14 = (x — 2)^2 + 14.$$

Таким образом, функция принимает вид:

$$y = (x — 2)^2 + 14$$

Теперь определим ключевые параметры этой функции.

1. Вершина параболы:

Для квадратичной функции вида $y = a(x — h)^2 + k$, вершина параболы находится в точке $(h, k)$. В нашем случае:

$$h = 2, \quad k = 14$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, 14)$.

2. Направление ветвей:

Так как коэффициент перед квадратом $a = 1$ (положительный), то парабола открывается вверх. То есть, для $x \to +\infty$ функция будет стремиться к бесконечности.

3. Область определения:

Область определения функции — вся действительная прямая $\mathbb{R}$, так как это квадратичная функция, которая определена для всех значений $x \in \mathbb{R}$.

4. Область значений функции:

Парабола открывается вверх, а её вершина имеет значение $y_0 = 14$. Следовательно, функция достигает минимального значения $14$ в вершине, и на всех значениях $x \geq 2$ функция будет возрастать. Таким образом, область значений функции будет:

$$E(f) = [14; +\infty)$$

Теперь давайте перейдем к анализу функции на различных промежутках.

1. Разбор по промежуткам:

а) На множестве $\mathbb{R}$ обратной функции не существует

Для квадратичной функции на всей области $\mathbb{R}$ не существует обратной функции. Это связано с тем, что функция не является взаимно однозначной: для одного и того же значения $y > 14$ существует два значения $x$, например, для $y = 16$ существуют значения $x = 0$ и $x = 4$, которые дают одинаковое значение $y = 16$. Это нарушает условие взаимной однозначности, которое необходимо для существования обратной функции.

Ответ: нет, на множестве $\mathbb{R}$ обратной функции не существует.

б) На промежутке $[2; +\infty)$

Этот промежуток включает только одну ветвь параболы (ветвь, направленную вверх), и на нем функция является монотонной (возрастающей). Поэтому мы можем найти её обратную функцию на этом промежутке.

1) Множество значений функции:

Для функции на промежутке $[2; +\infty)$:

• Минимальное значение функции при $x = 2$:

  $$y_{\text{min}} = y(2) = (2 — 2)^2 + 14 = 0^2 + 14 = 14$$

• Функция будет возрастать на промежутке $[2; +\infty)$, и её значения будут идти от $14$ до $+\infty$.

Множество значений функции на этом промежутке:

$$E(f) = [14; +\infty)$$

2) Нахождение обратной функции:

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$:

$$y = (x — 2)^2 + 14$$ $$y — 14 = (x — 2)^2$$ $$x — 2 = \sqrt{y — 14}$$ $$x = \sqrt{y — 14} + 2$$

Так как на промежутке $[2; +\infty)$ $x$ всегда больше или равен $2$, то обратная функция будет иметь вид:

$$y = \sqrt{x — 14} + 2, \quad \text{где} \quad x \geq 14.$$

3) Таблица значений функции и её обратной:

Рассмотрим таблицу значений для функции и её обратной.

4) График обратной функции:

График функции $y = \sqrt{x — 14} + 2$ будет частью параболы, направленной вверх, с областью определения $D(y) = [14; +\infty)$ и областью значений $E(y) = [2; +\infty)$.

Ответ:
$y = \sqrt{x — 14} + 2;$ $D(y) = [14; +\infty);$ $E(y) = [2; +\infty).$

в) На промежутке $(-∞; 0]$

На этом промежутке функция также является монотонной (убывающей), и на нем можно найти обратную функцию.

1) Множество значений функции:

Для функции на промежутке $(-\infty; 0]$:

• Минимальное значение функции при $x = 0$:

  $$y_{\text{min}} = y(0) = (0 — 2)^2 + 14 = 4 + 14 = 18$$

• Функция будет убывать на промежутке $(-\infty; 0]$, и её значения будут идти от $18$ до $+\infty$.

Множество значений функции на этом промежутке:

$$E(f) = [18; +\infty)$$

2) Нахождение обратной функции:

Для нахождения обратной функции выразим $x$ через $y$:

$$y = (x — 2)^2 + 14$$ $$y — 14 = (x — 2)^2$$ $$x — 2 = -\sqrt{y — 14}$$ $$x = -\sqrt{y — 14} + 2$$

На промежутке $(-\infty; 0]$ $x$ всегда меньше или равен $2$, поэтому обратная функция будет:

$$y = 2 — \sqrt{x — 14}, \quad \text{где} \quad x \geq 18.$$

3) Таблица значений функции и её обратной:

Рассмотрим таблицу значений для функции и её обратной.

4) График обратной функции:

График функции $y = 2 — \sqrt{x — 14}$ будет частью параболы, направленной вниз, с областью определения $D(y) = [18; +\infty)$ и областью значений $E(y) = (-\infty; 0]$.

Ответ:
$y = 2 — \sqrt{x — 14};$ $D(y) = [18; +\infty);$ $E(y) = (-\infty; 0].$

г) На промежутке $(-∞; 3)$ обратной функции не существует

На промежутке $(-\infty; 3)$ функция $y = (x — 2)^2 + 14$ не является взаимно однозначной, так как для одного и того же значения $y > 14$ существует два значения $x$, что нарушает условие взаимной однозначности, необходимое для существования обратной функции.

Ответ: нет, на промежутке $(-\infty; 3)$ обратной функции не существует.

Итоговый ответ:

а) На множестве $\mathbb{R}$ обратной функции не существует. Ответ: нет.

б) На промежутке $[2; +\infty)$ обратная функция существует. Ответ: $y = \sqrt{x — 14} + 2; D(y) = [14; +\infty); E(y) = [2; +\infty)$.

в) На промежутке $(-∞; 0]$ обратная функция существует. Ответ: $y = 2 — \sqrt{x — 14}; D(y) = [18; +\infty); E(y) = (-\infty; 0]$.

г) На промежутке $(-∞; 3)$ обратной функции не существует. Ответ: нет.