ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.33 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть у = f(x) и у = f(x) — некоторые взаимно-обратные функции. Являются ли равносильными следующие уравнения:

а) f(x) = x и g(x) = x;

б) f(g(x)) = x и g(f(x)) = x?

Пусть $y = f(x)$ и $y = g(x)$ — некоторые взаимно обратные функции, являются ли равносильными уравнения:

а) $f(x) = x$ и $g(x) = x$;

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y = x$, значит, они всегда пересекают эту прямую в одних и тех же точках.

Ответ: да.

б) $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$;

Если $D(f) \neq E(f)$, тогда $D(g) \neq D(f)$;

Каждая функция принимает только те значения, которые входят в область определения второй функции, следовательно:

• Если $g(x) = a$, тогда $f(g(x)) = f(a) = x$, где $x \in D(g)$;
• Если $f(x) = a$, тогда $g(f(x)) = g(a) = x$, где $x \in D(f)$;

Множества решений $x$ данных уравнений отличны.

Ответ: нет.

У нас есть две взаимно обратные функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$, и нам нужно проанализировать, являются ли равносильными следующие уравнения:

• а) $f(x) = x$ и $g(x) = x$;
• б) $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$.

а) $f(x) = x$ и $g(x) = x$

Утверждение: Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y = x$, значит, они всегда пересекаются с этой прямой в тех же точках.

1. Симметрия графиков

Если функции $f(x)$ и $g(x)$ являются взаимно обратными, это означает, что они связаны через обратную операцию. То есть, если функция $y = f(x)$ есть, то её обратная функция $y = g(x)$ выполняет операцию, обратную той, которую выполняет функция $f(x)$.

Графики таких функций всегда симметричны относительно прямой $y = x$, потому что если точка $(a, b)$ принадлежит графику $y = f(x)$, то точка $(b, a)$ принадлежит графику $y = g(x)$. Это свойство сохраняется для любых взаимно обратных функций.

2. Пересечение с прямой $y = x$

График функции $y = f(x)$ пересекает прямую $y = x$ в тех точках, где выполняется условие:

$$f(x) = x.$$

Аналогично, график функции $y = g(x)$ пересекает прямую $y = x$ в тех точках, где выполняется условие:

$$g(x) = x.$$

Таким образом, взаимно обратные функции всегда пересекают прямую $y = x$ в одних и тех же точках.

3. Заключение

В данном случае $f(x) = x$ и $g(x) = x$ — это два уравнения, которые описывают прямые, пересекающиеся с прямой $y = x$ в одинаковых точках. Таким образом, утверждение, что графики этих функций всегда пересекаются с прямой $y = x$ в тех же точках, верно.

Ответ: да.

б) $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$

Утверждение: Являются ли уравнения $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$ равносильными?

1. Объяснение уравнений

Рассмотрим два уравнения:

• $f(g(x)) = x$: Это условие описывает взаимное действие двух функций, где $g(x)$ — это результат действия функции $g$ на $x$, а затем результат этой операции передается функции $f$, которая должна вернуть исходное значение $x$. Это свойство характерно для взаимно обратных функций.
• $g(f(x)) = x$: Подобно предыдущему уравнению, это условие описывает работу функций $g$ и $f$, только в другом порядке. Сначала $f(x)$ действует на $x$, а затем $g(x)$ восстанавливает это значение.

В случае, если $f(x)$ и $g(x)$ — это взаимно обратные функции, оба уравнения должны быть выполнены. Однако, это требует, чтобы области определения и области значений функций правильно совпадали.

2. Разбор условий

Для того чтобы оба уравнения $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$ выполнялись одновременно, необходимо учитывать следующие важные моменты:

• Области определения функций: Для выполнения условий $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$, области определения этих функций должны быть совместимы. То есть, область определения функции $g(x)$ должна быть подмножеством области определения функции $f(x)$, и наоборот. В противном случае, одно из уравнений может не иметь смысла.
• Множества решений: Уравнения $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$ не всегда будут иметь одно и то же множество решений, если области определения и области значений функций не совпадают. Это особенно важно, если $f(x)$ и $g(x)$ имеют разные области определения.

3. Различие решений

• $f(g(x)) = x$ означает, что функция $g(x)$ возвращает такие значения, которые могут быть корректно обработаны функцией $f(x)$. Если $D(f) \neq E(g)$, то это условие может быть выполнено только для ограниченного числа $x$, так как значения, полученные через $g(x)$, должны попадать в область определения функции $f(x)$.
• $g(f(x)) = x$ также предполагает, что область определения функции $f(x)$ должна совпадать с областью значений функции $g(x)$. Если области определения и области значений не совпадают, то эти уравнения не могут быть равносильными.

4. Заключение

Уравнения $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$ не всегда равносильны, так как множества решений этих уравнений могут отличаться в зависимости от того, какие области определения и области значений у функций $f(x)$ и $g(x)$.

Ответ: нет.

Итоговое решение:

1. Уравнения $f(x) = x$ и $g(x) = x$ равносильны, так как графики взаимно обратных функций всегда пересекают прямую $y = x$ в одних и тех же точках.
2. Уравнения $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$ не равносильны, так как множества решений этих уравнений могут отличаться, в зависимости от области определения и области значений функций.