ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y=\frac{3}{x-1}$

б) $y=\frac{x+7}{2x-5}$

в) $y=\frac{2}{x+4}$

г) $y=\frac{2x-1}{x+3}$

а) $y = \frac{3}{x-1}$

Данная функция:

• $x_0 = 1$ и $y_0 = 0$
• Таблица значений:
  

  $x$	$-2$	$0$	$2$	$4$
  $y$	$-1$	$-3$	$3$	$1$

Функция, обратная данной:

$$x = \frac{3}{y-1};$$ $$x(y-1) = 3;$$ $$xy — x = 3;$$ $$xy = 3 + x;$$ $$y = \frac{3+x}{x} = 1 + \frac{3}{x};$$

• $x_0 = 0$ и $y_0 = 1$
• Таблица значений:
  

  $x$	$-3$	$-1$	$1$	$3$
  $y$	$0$	$-2$	$4$	$2$

Графики функций:

• Графики показаны на рисунке.

Ответ: $y = 1 + \frac{3}{x}$

б) $y = \frac{x+7}{2x-5}$

Данная функция:

$$y = \frac{x+7}{2x-5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x-5+19}{2x-5} = \frac{1}{2} + \frac{19}{4x-10};$$

• $x_0 = 2.5$ и $y_0 = 0.5$
• Таблица значений:
  

  $x$	$-2$	$1$	$4$	$7$
  $y$	$-\frac{5}{9}$	$-2\frac{2}{3}$	$3\frac{2}{3}$	$1\frac{5}{9}$

Функция, обратная данной:

$$x = \frac{y+7}{2y-5};$$ $$x(2y-5) = y+7;$$ $$2xy — 5x = y + 7;$$ $$2xy — y = 7 + 5x;$$ $$y(2x-1) = 7 + 5x;$$ $$y = \frac{7+5x}{2x-1} = \frac{5}{2} \cdot \frac{10x-5+19}{10x-5} = \frac{5}{2} + \frac{95}{20x-10};$$

• $x_0 = 0.5$ и $y_0 = 2.5$
• Таблица значений:
  

  $x$	$-4$	$-1$	$2$	$5$
  $y$	$1\frac{4}{9}$	$-\frac{2}{3}$	$5\frac{2}{3}$	$3\frac{5}{9}$

Графики функций:

• Графики показаны на рисунке.

Ответ: $y = \frac{7+5x}{2x-1}$

в) $y = \frac{2}{x+4}$

Данная функция:

• $x_0 = -4$ и $y_0 = 0$
• Таблица значений:
  

  $x$	$-6$	$-5$	$-3$	$-2$
  $y$	$-1$	$-2$	$2$	$1$

Функция, обратная данной:

$$x = \frac{2}{y+4};$$ $$x(y+4) = 2;$$ $$xy + 4x = 2;$$ $$xy = 2 — 4x;$$ $$y = \frac{2-4x}{x} = \frac{2}{x} — 4;$$

• $x_0 = 0$ и $y_0 = -4$
• Таблица значений:
  

  $x$	$-2$	$-1$	$1$	$2$
  $y$	$-5$	$-6$	$-2$	$-3$

Графики функций:

• Графики показаны на рисунке.

Ответ: $y = \frac{2-4x}{x}$

г) $y = \frac{2x-1}{x+3}$

Данная функция:

$$y = \frac{2x-1}{x+3} = 2 \cdot \frac{x+3-3.5}{x+3} = 2 — \frac{7}{x+3};$$

• $x_0 = -3$ и $y_0 = 2$
• Таблица значений:
  

  $x$	$-6$	$-5$	$-2$	$4$
  $y$	$4\frac{1}{3}$	$5\frac{1}{2}$	$-5$	$1$

Функция, обратная данной:

$$x = \frac{2y-1}{y+3};$$ $$x(y+3) = 2y-1;$$ $$xy + 3x = 2y-1;$$ $$2y — xy = 3x + 1;$$ $$y(2-x) = 3x + 1;$$ $$y = \frac{3x+1}{2-x} = -3 \cdot \frac{x-2+2\frac{1}{3}}{x-2} = -3 — \frac{7}{x-2};$$

• $x_0 = 2$ и $y_0 = -3$
• Таблица значений:
  

  $x$	$-5$	$1$	$4$	$6$
  $y$	$-2$	$4$	$-6\frac{1}{2}$	$-4\frac{3}{4}$

Графики функций:

• Графики показаны на рисунке.

Ответ: $y = -3 — \frac{7}{x-2}$

а) $y = \frac{3}{x-1}$

1. Данная функция:

Функция $y = \frac{3}{x-1}$ имеет разрыв в точке $x = 1$, так как в этой точке знаменатель становится равным нулю. Следовательно, $x_0 = 1$, а $y_0 = 0$, где значение функции стремится к бесконечности (или минус бесконечности) при приближении $x$ к 1.

Для построения таблицы значений подставим несколько значений $x$, исключая 1:

• При $x = -2$: $y = \frac{3}{-2 — 1} = \frac{3}{-3} = -1$
• При $x = 0$: $y = \frac{3}{0 — 1} = \frac{3}{-1} = -3$
• При $x = 2$: $y = \frac{3}{2 — 1} = \frac{3}{1} = 3$
• При $x = 4$: $y = \frac{3}{4 — 1} = \frac{3}{3} = 1$

Таким образом, таблица значений:

2. Нахождение обратной функции:

Чтобы найти обратную функцию, начнем с того, что выразим $x$ через $y$. Для этого:

$$y = \frac{3}{x-1}$$

Умножим обе части на $x — 1$, чтобы избавиться от дроби:

$$y(x — 1) = 3$$

Раскроем скобки:

$$xy — y = 3$$

Переносим все члены с $y$ в одну сторону:

$$xy = 3 + y$$

Теперь изолируем $y$:

$$y = \frac{3 + x}{x}$$

Упростим:

$$y = 1 + \frac{3}{x}$$

Таким образом, обратная функция:

$$y = 1 + \frac{3}{x}$$

3. Таблица значений для обратной функции:

Теперь подставим значения для $x$, используя найденную обратную функцию $y = 1 + \frac{3}{x}$:

• При $x = -3$: $y = 1 + \frac{3}{-3} = 1 — 1 = 0$
• При $x = -1$: $y = 1 + \frac{3}{-1} = 1 — 3 = -2$
• При $x = 1$: $y = 1 + \frac{3}{1} = 1 + 3 = 4$
• При $x = 3$: $y = 1 + \frac{3}{3} = 1 + 1 = 2$

Таблица значений для обратной функции:

4. График функции:

Графики функции $y = \frac{3}{x-1}$ и её обратной функции $y = 1 + \frac{3}{x}$ показывают, как происходит изменение $y$ в зависимости от $x$. График функции будет гиперболой с разрывом в точке $x = 1$, а обратная функция будет тоже гиперболой, но с разрывом в $x = 0$.

Ответ: $y = 1 + \frac{3}{x}$

б) $y = \frac{x+7}{2x-5}$

1. Данная функция:

Функция $y = \frac{x+7}{2x-5}$ имеет разрыв в точке $x = 2.5$, так как в этой точке знаменатель $2x — 5 = 0$. Следовательно, $x_0 = 2.5$, а $y_0 = 0.5$, где значение функции также стремится к бесконечности.

Построим таблицу значений:

• При $x = -2$: $y = \frac{-2 + 7}{2(-2) — 5} = \frac{5}{-9} = -\frac{5}{9}$
• При $x = 1$: $y = \frac{1 + 7}{2(1) — 5} = \frac{8}{-3} = -\frac{8}{3}$
• При $x = 4$: $y = \frac{4 + 7}{2(4) — 5} = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3}$
• При $x = 7$: $y = \frac{7 + 7}{2(7) — 5} = \frac{14}{9} = 1\frac{5}{9}$

Таблица значений:

2. Нахождение обратной функции:

Чтобы найти обратную функцию, начнем с того, что выразим $x$ через $y$:

$$y = \frac{x + 7}{2x — 5}$$

Умножим обе части на $2x — 5$:

$$y(2x — 5) = x + 7$$

Раскроем скобки:

$$2xy — 5y = x + 7$$

Переносим все члены с $x$ в одну сторону:

$$2xy — x = 7 + 5y$$

Вынесем $x$ за скобки:

$$x(2y — 1) = 7 + 5y$$

Изолируем $x$:

$$x = \frac{7 + 5y}{2y — 1}$$

Таким образом, обратная функция:

$$y = \frac{7 + 5x}{2x — 1}$$

3. Таблица значений для обратной функции:

Теперь подставим значения для $x$, используя найденную обратную функцию $y = \frac{7 + 5x}{2x — 1}$:

• При $x = -4$: $y = \frac{7 + 5(-4)}{2(-4) — 1} = \frac{7 — 20}{-8 — 1} = \frac{-13}{-9} = \frac{13}{9}$
• При $x = -1$: $y = \frac{7 + 5(-1)}{2(-1) — 1} = \frac{7 — 5}{-2 — 1} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$
• При $x = 2$: $y = \frac{7 + 5(2)}{2(2) — 1} = \frac{7 + 10}{4 — 1} = \frac{17}{3} = 5\frac{2}{3}$
• При $x = 5$: $y = \frac{7 + 5(5)}{2(5) — 1} = \frac{7 + 25}{10 — 1} = \frac{32}{9} = 3\frac{5}{9}$

Таблица значений для обратной функции:

4. График функции:

Графики функции $y = \frac{x+7}{2x-5}$ и её обратной функции $y = \frac{7+5x}{2x-1}$ показывают изменения $y$ в зависимости от $x$, а также разрывы в точках $x = 2.5$ для функции и $x = 0.5$ для обратной функции.

Ответ: $y = \frac{7+5x}{2x-1}$

в) $y = \frac{2}{x+4}$

1. Данная функция:

Функция $y = \frac{2}{x+4}$ имеет разрыв в точке $x = -4$, так как в этой точке знаменатель становится равным нулю. Следовательно, $x_0 = -4$, а $y_0 = 0$, где функция стремится к бесконечности (или минус бесконечности) при приближении $x$ к -4.

Построим таблицу значений для функции:

• При $x = -6$: $y = \frac{2}{-6 + 4} = \frac{2}{-2} = -1$
• При $x = -5$: $y = \frac{2}{-5 + 4} = \frac{2}{-1} = -2$
• При $x = -3$: $y = \frac{2}{-3 + 4} = \frac{2}{1} = 2$
• При $x = -2$: $y = \frac{2}{-2 + 4} = \frac{2}{2} = 1$

Таблица значений:

2. Нахождение обратной функции:

Чтобы найти обратную функцию, начнем с того, что выразим $x$ через $y$:

$$y = \frac{2}{x+4}$$

Умножим обе части на $x + 4$:

$$y(x + 4) = 2$$

Раскроем скобки:

$$xy + 4y = 2$$

Переносим все члены с $y$ в одну сторону:

$$xy = 2 — 4y$$

Изолируем $y$:

$$y = \frac{2 — 4x}{x} = \frac{2}{x} — 4$$

Таким образом, обратная функция:

$$y = \frac{2 — 4x}{x}$$

3. Таблица значений для обратной функции:

Теперь подставим значения для $x$, используя найденную обратную функцию $y = \frac{2 — 4x}{x}$:

• При $x = -2$: $y = \frac{2 — 4(-2)}{-2} = \frac{2 + 8}{-2} = \frac{10}{-2} = -5$
• При $x = -1$: $y = \frac{2 — 4(-1)}{-1} = \frac{2 + 4}{-1} = \frac{6}{-1} = -6$
• При $x = 1$: $y = \frac{2 — 4(1)}{1} = \frac{2 — 4}{1} = \frac{-2}{1} = -2$
• При $x = 2$: $y = \frac{2 — 4(2)}{2} = \frac{2 — 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Таблица значений для обратной функции:

4. График функции:

Графики функции $y = \frac{2}{x+4}$ и её обратной функции $y = \frac{2-4x}{x}$ показывают гиперболы. Функция имеет разрыв в точке $x = -4$, а обратная функция — в точке $x = 0$.

Ответ: $y = \frac{2-4x}{x}$

г) $y = \frac{2x-1}{x+3}$

1. Данная функция:

Функция $y = \frac{2x-1}{x+3}$ имеет разрыв в точке $x = -3$, так как в этой точке знаменатель становится равным нулю. Следовательно, $x_0 = -3$, а $y_0 = 2$, где функция стремится к бесконечности (или минус бесконечности) при приближении $x$ к -3.

Построим таблицу значений для функции:

• При $x = -6$: $y = \frac{2(-6) — 1}{-6 + 3} = \frac{-12 — 1}{-3} = \frac{-13}{-3} = 4\frac{1}{3}$
• При $x = -5$: $y = \frac{2(-5) — 1}{-5 + 3} = \frac{-10 — 1}{-2} = \frac{-11}{-2} = 5\frac{1}{2}$
• При $x = -2$: $y = \frac{2(-2) — 1}{-2 + 3} = \frac{-4 — 1}{1} = \frac{-5}{1} = -5$
• При $x = 4$: $y = \frac{2(4) — 1}{4 + 3} = \frac{8 — 1}{7} = \frac{7}{7} = 1$

Таблица значений:

2. Нахождение обратной функции:

Чтобы найти обратную функцию, начнем с того, что выразим $x$ через $y$:

$$y = \frac{2x — 1}{x + 3}$$

Умножим обе части на $x + 3$:

$$y(x + 3) = 2x — 1$$

Раскроем скобки:

$$xy + 3y = 2x — 1$$

Переносим все члены с $x$ в одну сторону:

$$xy — 2x = -1 — 3y$$

Вынесем $x$ за скобки:

$$x(y — 2) = -1 — 3y$$

Изолируем $x$:

$$x = \frac{-1 — 3y}{y — 2}$$

Таким образом, обратная функция:

$$y=\frac{3x+1}{2-x}=-3\cdot \frac{x-2+2\frac{1}{3}}{x-2}=-3-\frac{7}{x-2}$$

3. Таблица значений для обратной функции:

Теперь подставим значения для $x$, используя найденную обратную функцию $y = \frac{-1 — 3x}{x — 2}$:

• При $x = -5$: $y = \frac{-1 — 3(-5)}{-5 — 2} = \frac{-1 + 15}{-7} = \frac{14}{-7} = -2$
• При $x = 1$: $y = \frac{-1 — 3(1)}{1 — 2} = \frac{-1 — 3}{-1} = \frac{-4}{-1} = 4$
• При $x = 4$: $y = \frac{-1 — 3(4)}{4 — 2} = \frac{-1 — 12}{2} = \frac{-13}{2} = -6\frac{1}{2}$
• При $x = 6$: $y = \frac{-1 — 3(6)}{6 — 2} = \frac{-1 — 18}{4} = \frac{-19}{4} = -4\frac{3}{4}$

Таблица значений для обратной функции:

4. График функции:

Графики функции $y = \frac{2x-1}{x+3}$ и её обратной функции $y = \frac{-1 — 3x}{x — 2}$ показывают гиперболы с разрывами в точках $x = -3$ и $x = 2$, соответственно.

Ответ: $y=$$y = \frac{-1 — 3x}{x — 2}$