ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.33 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

На числовой окружности и числовой прямой отметьте все точки $M(t)$, заданные формулой и принадлежащие отрезку $[-2; 4]$.

а) $t = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$

1) Значения чисел:

$$t(-1) = \frac{\pi}{6} — \pi = -\frac{5\pi}{6} < -2;$$ $$t(0) = \pm \frac{\pi}{6};$$ $$t(1) = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6};$$ $$t(1) = +\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6};$$ $$t(2) = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} > 4;$$

2) На числовой окружности:

3) На числовой прямой:

Ответ: $\pm \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$.

б) $t = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$

1) Значения чисел:

$$t(-1) = (-1)^{-1} \cdot \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{4} < -2;$$ $$t(0) = (-1)^0 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4};$$ $$t(1) = (-1)^1 \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4};$$ $$t(2) = (-1)^2 \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4};$$ $$t(3) = (-1)^3 \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{2} = -\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{2} = \frac{5\pi}{4};$$ $$t(4) = (-1)^4 \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} > 4;$$

2) На числовой окружности:

3) На числовой прямой:

Ответ: $\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.

в) $t = \pm \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$

1) Значения чисел:

$$t(0) = -\frac{3\pi}{4} < -2;$$ $$t(-2) = +\frac{3\pi}{4} — \frac{2\pi}{2} = -\frac{\pi}{4};$$ $$t(-1) = +\frac{3\pi}{4} — \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4};$$ $$t(0) = \frac{3\pi}{4};$$ $$t(1) = -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4};$$ $$t(1) = +\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{4};$$ $$t(2) = -\frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi}{2} = \frac{\pi}{4};$$ $$t(2) = +\frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi}{2} = \frac{7\pi}{4} > 4;$$

2) На числовой окружности:

3) На числовой прямой:

Ответ: $\pm \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.

г) $t = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{4}$

1) Значения чисел:

$$t(-2) = (-1)^{-1} \cdot \frac{\pi}{3} — \frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{2} = -\frac{5\pi}{6} < -2;$$ $$t(-3) = (-1)^{-2} \cdot \frac{\pi}{3} — \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{3} — \frac{3\pi}{4} = -\frac{5\pi}{12};$$ $$t(-1) = (-1)^0 \cdot \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12};$$ $$t(0) = (-1)^1 \cdot \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3};$$ $$t(1) = (-1)^2 \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{12};$$ $$t(2) = (-1)^3 \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6};$$ $$t(3) = (-1)^4 \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} = \frac{13\pi}{12};$$ $$t(4) = (-1)^5 \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3};$$ $$t(5) = (-1)^6 \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{4} = \frac{19\pi}{12} > 4;$$ $$t(6) = (-1)^7 \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{2} = \frac{7\pi}{6};$$

2) На числовой окружности:

3) На числовой прямой:

Ответ: $-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{12}; \frac{7\pi}{12}; -\frac{5\pi}{12}; \frac{\pi}{6}; \frac{13\pi}{12}; \frac{2\pi}{3}; \frac{7\pi}{6}$.

Заданы формулы для нахождения значений $t$, которые принадлежат отрезку $[-2; 4]$. Мы будем находить все такие значения и отображать их на числовой прямой и окружности.

а) $t = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$

Шаг 1: Вычисление значений для разных $n$

Для $n = -1$:

$$t(-1) = \frac{\pi}{6} — \pi = \frac{\pi}{6} — \frac{6\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}.$$

Так как $-\frac{5\pi}{6} \approx -2.618$, это значение меньше -2, и оно не принадлежит отрезку $[-2; 4]$.

Для $n = 0$:

$$t(0) = \pm \frac{\pi}{6}.$$

Так как $\frac{\pi}{6} \approx 0.524$ и $-\frac{\pi}{6} \approx -0.524$, оба значения лежат в пределах отрезка $[-2; 4]$.

Для $n = 1$:

$$t(1) = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}.$$

Так как $\frac{5\pi}{6} \approx 2.618$, это значение лежит в пределах отрезка $[-2; 4]$.

Для $n = 2$:

$$t(2) = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}.$$

Так как $\frac{11\pi}{6} \approx 5.759$, это значение больше 4, и оно не принадлежит отрезку $[-2; 4]$.

Шаг 2: Ответ для числовой прямой и окружности

Значения на отрезке $[-2; 4]$:

$$\pm \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}.$$

б) $t = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$

Шаг 1: Вычисление значений для разных $n$

Для $n = -1$:

$$t(-1) = (-1)^{-1} \cdot \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{4}.$$

Так как $-\frac{3\pi}{4} \approx -2.356$, это значение меньше -2, и оно не принадлежит отрезку $[-2; 4]$.

Для $n = 0$:

$$t(0) = (-1)^0 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}.$$

Так как $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$, это значение лежит в пределах отрезка $[-2; 4]$.

Для $n = 1$:

$$t(1) = (-1)^1 \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}.$$

Так как $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$, это значение лежит в пределах отрезка $[-2; 4]$.

Для $n = 2$:

$$t(2) = (-1)^2 \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}.$$

Так как $\frac{5\pi}{4} \approx 3.927$, это значение лежит в пределах отрезка $[-2; 4]$.

Для $n = 3$:

$$t(3) = (-1)^3 \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{2} = -\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{2} = \frac{5\pi}{4}.$$

Так как $\frac{5\pi}{4} \approx 3.927$, это значение лежит в пределах отрезка $[-2; 4]$.

Для $n = 4$:

$$t(4) = (-1)^4 \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}.$$

Так как $\frac{9\pi}{4} \approx 7.069$, это значение больше 4, и оно не принадлежит отрезку $[-2; 4]$.

Шаг 2: Ответ для числовой прямой и окружности

Значения на отрезке $[-2; 4]$:

$$\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}.$$

в) $t = \pm \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$

Шаг 1: Вычисление значений для разных $n$

Для $n = 0$:

$$t(0) = -\frac{3\pi}{4}.$$

Так как $-\frac{3\pi}{4} \approx -2.356$, это значение меньше -2, и оно не принадлежит отрезку $[-2; 4]$.

Для $n = -2$:

$$t(-2) = +\frac{3\pi}{4} — \frac{2\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}.$$

Так как $-\frac{\pi}{4} \approx -0.785$, это значение лежит в пределах отрезка $[-2; 4]$.

Для $n = -1$:

$$t(-1) = +\frac{3\pi}{4} — \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}.$$

Так как $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$, это значение лежит в пределах отрезка $[-2; 4]$.

Для $n = 0$:

$$t(0) = \frac{3\pi}{4}.$$

Так как $\frac{3\pi}{4} \approx 2.356$, это значение лежит в пределах отрезка $[-2; 4]$.

Для $n = 1$:

$$t(1) = -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}.$$

Так как $-\frac{\pi}{4} \approx -0.785$, это значение лежит в пределах отрезка $[-2; 4]$.

Для $n = 1$:

$$t(1) = +\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{4}.$$

Так как $\frac{5\pi}{4} \approx 3.927$, это значение лежит в пределах отрезка $[-2; 4]$.

Для $n = 2$:

$$t(2) = -\frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi}{2} = \frac{\pi}{4}.$$

Так как $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$, это значение лежит в пределах отрезка $[-2; 4]$.

Для $n = 2$:

$$t(2) = +\frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi}{2} = \frac{7\pi}{4}.$$

Так как $\frac{7\pi}{4} \approx 5.497$, это значение больше 4, и оно не принадлежит отрезку $[-2; 4]$.

Шаг 2: Ответ для числовой прямой и окружности

Значения на отрезке $[-2; 4]$:

$$\pm \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}.$$

г) $t = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{4}$

Шаг 1: Вычисление значений для разных $n$

Для $n = -2$:

$$t(-2) = (-1)^{-1} \cdot \frac{\pi}{3} — \frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{2} = -\frac{5\pi}{6}.$$

Так как $-\frac{5\pi}{6} \approx -2.618$, это значение меньше -2, и оно не принадлежит отрезку $[-2; 4]$.

Для $n = -3$:

$$t(-3) = (-1)^{-2} \cdot \frac{\pi}{3} — \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{3} — \frac{3\pi}{4} = -\frac{5\pi}{12}.$$

Так как $-\frac{5\pi}{12} \approx -1.309$, это значение лежит в пределах отрезка $[-2; 4]$.

Для $n = -1$:

$$t(-1) = (-1)^0 \cdot \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}.$$

Так как $\frac{\pi}{12} \approx 0.261$, это значение лежит в пределах отрезка $[-2; 4]$.

Для $n = 0$:

$$t(0) = (-1)^1 \cdot \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}.$$

Так как $-\frac{\pi}{3} \approx -1.047$, это значение лежит в пределах отрезка $[-2; 4]$.

Для $n = 1$:

$$t(1) = (-1)^2 \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{12}.$$

Так как $\frac{7\pi}{12} \approx 1.833$, это значение лежит в пределах отрезка $[-2; 4]$.

Для $n = 2$:

$$t(2) = (-1)^3 \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6}.$$

Так как $\frac{\pi}{6} \approx 0.524$, это значение лежит в пределах отрезка $[-2; 4]$.

Для $n = 3$:

$$t(3) = (-1)^4 \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} = \frac{13\pi}{12}.$$

Так как $\frac{13\pi}{12} \approx 3.403$, это значение лежит в пределах отрезка $[-2; 4]$.

Для $n = 4$:

$$t(4) = (-1)^5 \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}.$$

Так как $\frac{2\pi}{3} \approx 2.094$, это значение лежит в пределах отрезка $[-2; 4]$.

Для $n = 5$:

$$t(5) = (-1)^6 \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{4} = \frac{19\pi}{12}.$$

Так как $\frac{19\pi}{12} \approx 4.967$, это значение больше 4, и оно не принадлежит отрезку $[-2; 4]$.

Для $n = 6$:

$$t(6) = (-1)^7 \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{2} = \frac{7\pi}{6}.$$

Так как $\frac{7\pi}{6} \approx 3.665$, это значение лежит в пределах отрезка $[-2; 4]$.

Шаг 2: Ответ для числовой прямой и окружности

Значения на отрезке $[-2; 4]$:

$$-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}, -\frac{5\pi}{12}, \frac{\pi}{6}, \frac{13\pi}{12}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{6}.$$$$