ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right) = M_1 \left( \frac{7\pi}{6} \right) = M_1 \left( -\frac{5\pi}{6} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right) = M_2 \left( \frac{5\pi}{6} \right);$$

Ответ:

$$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

б) $x < \frac{\sqrt{2}}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{4} \right);$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n.$$

в) $x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{3\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{5\pi}{4} \right);$$

Ответ:

$$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n.$$

г) $x > -\frac{1}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1 \left( -\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{4\pi}{3} \right) = M_1 \left( -\frac{2\pi}{3} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{2\pi}{3} \right);$$

Ответ:

$$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

Числовая окружность — это окружность радиусом 1, расположенная на плоскости с центром в начале координат. Углы измеряются от положительного направления оси абсцисс. Каждой точке на окружности соответствует угол $t$, который связан с координатами точки через тригонометрические функции: абсцисса $x = \cos t$ и ордината $y = \sin t$.

Наша задача — найти интервал углов $t$, которые соответствуют данным значениям $x$. Углы на окружности периодичны, то есть повторяются через $2\pi$, и каждый угол можно записать с добавлением целого числа $2\pi n$, где $n$ — целое число.

а) $x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1: Понимание условия.

Когда $x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$, это означает, что точка находится в области окружности, где её абсцисса больше, чем $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это условие накладывает ограничения на углы, где $\cos t > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 2: Подходящие точки.

• $M_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right) = M_1\left(\frac{7\pi}{6}\right)$ — это точка на окружности, соответствующая углу $t = \frac{7\pi}{6}$ (или эквивалентно $t = -\frac{5\pi}{6}$).
• $M_2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right) = M_2\left(\frac{5\pi}{6}\right)$ — это точка на окружности, соответствующая углу $t = \frac{5\pi}{6}$.

Шаг 3: Интервал углов.

Поскольку $x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$, это условие охватывает углы между $t = -\frac{5\pi}{6}$ и $t = \frac{5\pi}{6}$. Углы в этом интервале лежат в области окружности, где $\cos t$ больше $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Периодичность углов означает, что такие углы повторяются через $2\pi$, поэтому решение будет выглядеть так:

$$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Ответ:

$$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

б) $x < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1: Понимание условия.

Когда $x < \frac{\sqrt{2}}{2}$, это означает, что точка находится в области окружности, где её абсцисса меньше $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Условие $x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ накладывает ограничения на углы, для которых $\cos t < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Шаг 2: Подходящие точки.

• $M_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_1\left(\frac{\pi}{4}\right)$ — точка, соответствующая углу $t = \frac{\pi}{4}$.
• $M_2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_2\left(\frac{7\pi}{4}\right)$ — точка, соответствующая углу $t = \frac{7\pi}{4}$.

Шаг 3: Интервал углов.

Поскольку $x < \frac{\sqrt{2}}{2}$, интервал углов будет находиться между углами $t = \frac{\pi}{4}$ и $t = \frac{7\pi}{4}$. Это включает все углы, где $\cos t$ меньше $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Периодичность углов с периодом $2\pi$ даёт нам следующий интервал:

$$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$$

в) $x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1: Понимание условия.

Когда $x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$, это означает, что точка находится в области окружности, где её абсцисса меньше, чем $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Условие $x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ накладывает ограничения на углы, для которых $\cos t < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Шаг 2: Подходящие точки.

• $M_1\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_1\left(\frac{3\pi}{4}\right)$ — точка на окружности, соответствующая углу $t = \frac{3\pi}{4}$.
• $M_2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_2\left(\frac{5\pi}{4}\right)$ — точка на окружности, соответствующая углу $t = \frac{5\pi}{4}$.

Шаг 3: Интервал углов.

Поскольку $x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$, интервал углов будет находиться между углами $t = \frac{3\pi}{4}$ и $t = \frac{5\pi}{4}$. Это включает все углы, где $\cos t$ меньше $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Периодичность углов с периодом $2\pi$ даёт нам следующий интервал:

$$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$$

Ответ:

$$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$$

г) $x > -\frac{1}{2}$

Шаг 1: Понимание условия.

Когда $x > -\frac{1}{2}$, это означает, что точка находится в области окружности, где её абсцисса больше, чем $-\frac{1}{2}$. Условие $x > -\frac{1}{2}$ накладывает ограничения на углы, для которых $\cos t > -\frac{1}{2}$.

Шаг 2: Подходящие точки.

• $M_1\left(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{4\pi}{3}\right)$ — точка на окружности, соответствующая углу $t = \frac{4\pi}{3}$.
• $M_2\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_2\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ — точка на окружности, соответствующая углу $t = \frac{2\pi}{3}$.

Шаг 3: Интервал углов.

Поскольку $x > -\frac{1}{2}$, интервал углов будет находиться между углами $t = \frac{2\pi}{3}$ и $t = \frac{4\pi}{3}$. Это включает все углы, где $\cos t$ больше $-\frac{1}{2}$. Периодичность углов с периодом $2\pi$ даёт нам следующий интервал:

$$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Ответ:

$$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Итоговые ответы:

а) $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

б) $\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$

в) $\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$

г) $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$