ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 121 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение р, при котором числа р — 5,$\sqrt{7p}$, р + 4 являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.

Пусть $(b_n)$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$, тогда:
$b_1=p-5;$
$b_2=\sqrt{7p};$
$b_3=p+4;$

1. Знаменатель геометрической прогрессии:
   $q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2};$
   $b_2\cdot b_2=b_3\cdot b_1;$
   $b_2^2=b_3\cdot b_1;$
   $b_2=\sqrt{b_3\cdot b_1};$
2. Определим значение параметра:
   $\sqrt{7p}=\sqrt{(p-5)(p+4)};$
   $7p=(p-5)(p+4);$
   $7p=p^2+4p-5p-20;$
   $p^2-8p-20=0;$
   $D=8^2+4\cdot 20=64+80=144,\text{тогда:}$
   $p_1=\frac{8-12}{2}=-2\text{и}{p}_2=\frac{8+12}{2}=10;$
3. Данные числа существуют, если:
   $7p>0,\text{отсюда }p>0;$

Ответ: $p=10$.

Имеем геометрическую прогрессию $(b_n)$ с первым членом $b_1=p-5$, вторым членом $b_2=\sqrt{7p}$ и третьим членом $b_3=p+4$. Требуется найти значение параметра $p$, используя условия геометрической прогрессии.

Шаг 1. Выражение для знаменателя геометрической прогрессии

Для любой геометрической прогрессии существует постоянный знаменатель $q$, который связан с членами прогрессии следующим образом:

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}$$

В данном случае:

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{\sqrt{7p}}{p-5}$$

и

$$q=\frac{b_3}{b_2}=\frac{p+4}{\sqrt{7p}}$$

Таким образом, можно приравнять эти два выражения для $q$:

$$\frac{\sqrt{7p}}{p-5}=\frac{p+4}{\sqrt{7p}}$$

Шаг 2. Умножение обеих частей на $\sqrt{7p}$

Чтобы избавиться от корней в уравнении, умножим обе стороны на $\sqrt{7p}$:

$$\sqrt{7p}\cdot \frac{\sqrt{7p}}{p-5}=\sqrt{7p}\cdot \frac{p+4}{\sqrt{7p}}$$

Получим:

$$\frac{7p}{p-5}=p+4$$

Шаг 3. Умножение обеих сторон на $p-5$

Теперь умножим обе части этого уравнения на $p-5$ (при условии, что $p\mathrm{\ne }5$, чтобы не делить на ноль):

$$7p=(p+4)(p-5)$$

Шаг 4. Раскрытие скобок и упрощение

Раскроем скобки справа:

$$7p=p^2-5p+4p-20$$$$7p=p^2-p-20$$

Шаг 5. Приведение всех членов в одну сторону

Переносим все элементы в одну сторону:

$$0=p^2-p-20-7p$$$$0=p^2-8p-20$$

Шаг 6. Решение квадратного уравнения

Теперь решим полученное квадратное уравнение:

$$p^2-8p-20=0$$

Для этого вычислим дискриминант $D$:

$$D=(-8{)}^2-4\cdot 1\cdot (-20)=64+80=144$$

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

$$p=\frac{-(-8)\pm \sqrt{D}}{2\cdot 1}=\frac{8\pm \sqrt{144}}{2}$$$$p=\frac{8\pm 12}{2}$$

Шаг 7. Нахождение корней

Теперь находим два возможных значения $p$:

$$p_1=\frac{8-12}{2}=\frac{-4}{2}=-2$$

и

$$p_2=\frac{8+12}{2}=\frac{20}{2}=10$$

Шаг 8. Проверка условий на допустимость значений $p$

Необходимо удостовериться, что найденные значения $p$ соответствуют исходным условиям задачи. Согласно первоначальному условию, $b_2=\sqrt{7p}$, то есть для существования этого выражения должно быть $7p\ge 0$, а значит $p\ge 0$.

• Для $p_1=-2$: Подставим в выражение для $b_2$:
  $b_2=\sqrt{7\cdot (-2)}=\sqrt{-14}$, что невозможно (корень из отрицательного числа).
  Следовательно, $p_1=-2$ не является допустимым значением.
• Для $p_2=10$: Подставим в выражение для $b_2$:
  $b_2=\sqrt{7\cdot 10}=\sqrt{70}$, что является допустимым значением (корень из положительного числа).

Шаг 9. Ответ

Таким образом, единственно допустимое значение параметра $p$ — это $p=10$.

Ответ: $p=10$.