ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти наименьшее и наибольшее значения выражений:

а)

$$\frac{15}{2|\sin t| + 3};$$ $$-1 \leq \sin t \leq 1;$$ $$0 \leq |\sin t| \leq 1;$$ $$0 \leq 2|\sin t| \leq 2;$$ $$3 \leq 2|\sin t| + 3 \leq 5;$$ $$3 \leq \frac{15}{2|\sin t| + 3} \leq 5;$$

Ответ: $3; 5$.

б)

$$\sqrt{7 \cos^2 t + 9};$$ $$-1 \leq \cos t \leq 1;$$ $$0 \leq \cos^2 t \leq 1;$$ $$0 \leq 7 \cos^2 t \leq 7;$$ $$9 \leq 7 \cos^2 t + 9 \leq 16;$$ $$3 \leq \sqrt{7 \cos^2 t + 9} \leq 4;$$

Ответ: $3; 4$.

в)

$$\frac{1}{3 \sin^2 t + 4 \cos^2 t} = \frac{1}{\cos^2 t + 3(\sin^2 t + \cos^2 t)} = \frac{1}{\cos^2 t + 3};$$ $$-1 \leq \cos t \leq 1;$$ $$0 \leq \cos^2 t \leq 1;$$ $$3 \leq \cos^2 t + 3 \leq 4;$$ $$\frac{1}{4} \leq \frac{1}{\cos^2 t + 3} \leq \frac{1}{3};$$

Ответ: $\frac{1}{4}; \frac{1}{3}$.

г)

$$\frac{5 \sin^2 t + 5 \cos^2 t}{3|\cos t| + 2} = \frac{5(\sin^2 t + \cos^2 t)}{3|\cos t| + 2} = \frac{5}{3|\cos t| + 2};$$ $$-1 \leq \cos t \leq 1;$$ $$0 \leq |\cos t| \leq 1;$$ $$0 \leq 3|\cos t| \leq 3;$$ $$2 \leq 3|\cos t| + 2 \leq 5;$$ $$1 \leq \frac{5}{3|\cos t| + 2} \leq 2,5;$$

Ответ: $1; 2,5$.

а) $\frac{15}{2|\sin t| + 3}$

Шаг 1: Рассматриваем диапазон значений для $|\sin t|$

Для синуса выполняется следующее неравенство:

$$-1 \leq \sin t \leq 1$$

Так как мы имеем абсолютное значение $|\sin t|$, то оно всегда будет положительным, и следовательно:

$$0 \leq |\sin t| \leq 1$$

Шаг 2: Рассматриваем диапазон для $2|\sin t|$

Теперь умножим все части неравенства для $|\sin t|$ на 2:

$$0 \leq 2|\sin t| \leq 2$$

Шаг 3: Рассматриваем диапазон для $2|\sin t| + 3$

Теперь прибавим 3 ко всем частям этого неравенства:

$$3 \leq 2|\sin t| + 3 \leq 5$$

Шаг 4: Рассматриваем диапазон для $\frac{15}{2|\sin t| + 3}$

Теперь найдем наименьшее и наибольшее значение для выражения $\frac{15}{2|\sin t| + 3}$, при этом мы делим число 15 на диапазон $[3, 5]$. Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение, нужно учесть, что дробь принимает наибольшее значение, когда знаменатель минимален, и наименьшее — когда знаменатель максимален.

• Когда $2|\sin t| + 3 = 3$, то:

  $$\frac{15}{3} = 5$$

• Когда $2|\sin t| + 3 = 5$, то:

  $$\frac{15}{5} = 3$$

Таким образом, наименьшее значение равно 3, а наибольшее — 5.

Ответ:

$$3; 5$$

б) $\sqrt{7 \cos^2 t + 9}$

Шаг 1: Рассматриваем диапазон значений для $\cos t$

Для косинуса выполняется следующее неравенство:

$$-1 \leq \cos t \leq 1$$

Шаг 2: Рассматриваем диапазон для $\cos^2 t$

Возведем все части неравенства в квадрат (так как косинус возводится в квадрат, значение всегда положительное):

$$0 \leq \cos^2 t \leq 1$$

Шаг 3: Рассматриваем диапазон для $7 \cos^2 t$

Теперь умножим все части этого неравенства на 7:

$$0 \leq 7 \cos^2 t \leq 7$$

Шаг 4: Рассматриваем диапазон для $7 \cos^2 t + 9$

Теперь добавим 9 ко всем частям этого неравенства:

$$9 \leq 7 \cos^2 t + 9 \leq 16$$

Шаг 5: Рассматриваем диапазон для $\sqrt{7 \cos^2 t + 9}$

Теперь берем квадратный корень от всего неравенства:

$$\sqrt{9} \leq \sqrt{7 \cos^2 t + 9} \leq \sqrt{16}$$

Получаем:

$$3 \leq \sqrt{7 \cos^2 t + 9} \leq 4$$

Ответ:

$$3; 4$$

в) $\frac{1}{3 \sin^2 t + 4 \cos^2 t} = \frac{1}{\cos^2 t + 3(\sin^2 t + \cos^2 t)} = \frac{1}{\cos^2 t + 3}$

Шаг 1: Рассматриваем диапазон значений для $\cos t$

Для косинуса выполняется следующее неравенство:

$$-1 \leq \cos t \leq 1$$

Шаг 2: Рассматриваем диапазон для $\cos^2 t$

Возведем все части неравенства в квадрат:

$$0 \leq \cos^2 t \leq 1$$

Шаг 3: Рассматриваем диапазон для $\cos^2 t + 3$

Теперь прибавим 3 ко всем частям этого неравенства:

$$3 \leq \cos^2 t + 3 \leq 4$$

Шаг 4: Рассматриваем диапазон для $\frac{1}{\cos^2 t + 3}$

Теперь найдем наименьшее и наибольшее значение для выражения $\frac{1}{\cos^2 t + 3}$, при этом мы делим 1 на диапазон $[3, 4]$. Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение, нужно учесть, что дробь принимает наибольшее значение, когда знаменатель минимален, и наименьшее — когда знаменатель максимален.

• Когда $\cos^2 t + 3 = 3$, то:

  $$\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$$

• Когда $\cos^2 t + 3 = 4$, то:

  $$\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$$

Таким образом, наименьшее значение равно $\frac{1}{4}$, а наибольшее — $\frac{1}{3}$.

Ответ:

$$\frac{1}{4}; \frac{1}{3}$$

г) $\frac{5 \sin^2 t + 5 \cos^2 t}{3|\cos t| + 2} = \frac{5(\sin^2 t + \cos^2 t)}{3|\cos t| + 2} = \frac{5}{3|\cos t| + 2}$

Шаг 1: Рассматриваем диапазон значений для $|\cos t|$

Для косинуса выполняется следующее неравенство:

$$-1 \leq \cos t \leq 1$$

Поскольку у нас абсолютное значение $|\cos t|$, то:

$$0 \leq |\cos t| \leq 1$$

Шаг 2: Рассматриваем диапазон для $3|\cos t|$

Теперь умножим все части этого неравенства на 3:

$$0 \leq 3|\cos t| \leq 3$$

Шаг 3: Рассматриваем диапазон для $3|\cos t| + 2$

Теперь прибавим 2 ко всем частям этого неравенства:

$$2 \leq 3|\cos t| + 2 \leq 5$$

Шаг 4: Рассматриваем диапазон для $\frac{5}{3|\cos t| + 2}$

Теперь мы делим 5 на диапазон $[2, 5]$. Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение, нужно учесть, что дробь принимает наибольшее значение, когда знаменатель минимален, и наименьшее — когда знаменатель максимален.

• Когда $3|\cos t| + 2 = 2$, то:

  $$\frac{5}{2} = 2,5$$

• Когда $3|\cos t| + 2 = 5$, то:

  $$\frac{5}{5} = 1$$

Таким образом, наименьшее значение равно 1, а наибольшее — 2,5.

Ответ:

$$1; 2,5$$

Итоговые ответы:

а) $3; 5$
б) $3; 4$
в) $\frac{1}{4}; \frac{1}{3}$
г) $1; 2,5$