ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8} — \sqrt{2} \sin t = 0;$$ $$1 — \sqrt{2} \sin t = 0;$$ $$\sin t = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2};$$

Подходящие точки:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{3\pi}{4} \right);$$

Ответ: $t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n; \quad t_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

б)

$$\sqrt{\frac{4}{3}} \cos t = \cos^2 1 + \sin^2 1;$$ $$\frac{2}{\sqrt{3}} \cos t = 1;$$ $$\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2};$$

Подходящие точки:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{6} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right) = M_2 \left( \frac{11\pi}{6} \right);$$

Соответствующие числа:

$$t_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$t_2 = \frac{11\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} — 2\pi = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

а) Решение уравнения:

$$\sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8} — \sqrt{2} \sin t = 0$$

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Для угла $\alpha = \frac{\pi}{8}$ это тождество справедливо, то есть:

$$\sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8} = 1$$

Таким образом, уравнение упрощается:

$$1 — \sqrt{2} \sin t = 0$$

Решаем полученное уравнение:

$$1 — \sqrt{2} \sin t = 0$$

Переносим $\sqrt{2} \sin t$ на правую сторону:

$$\sqrt{2} \sin t = 1$$

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$$\sin t = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Находим углы, для которых $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$:
Мы знаем, что $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно:

$$t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad t = \pi — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

где $n \in \mathbb{Z}$ — целое число.

Ответ для части а:
Подходящие точки на единичной окружности:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{4} \right)$$

и

$$M_2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{3\pi}{4} \right)$$

Ответ:

$$t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad t_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

б) Решение уравнения:

$$\sqrt{\frac{4}{3}} \cos t = \cos^2 1 + \sin^2 1$$

Используем основное тригонометрическое тождество:
В левой части уравнения находится выражение $\cos^2 1 + \sin^2 1$. Это по определению тригонометрическое тождество:

$$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$$

Следовательно, уравнение преобразуется в:

$$\sqrt{\frac{4}{3}} \cos t = 1$$

Решаем полученное уравнение:
Разделим обе части на $\sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$, получим:

$$\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Находим углы, для которых $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
Известно, что $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно:

$$t = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad t = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

где $n \in \mathbb{Z}$ — целое число.

Ответ для части б:
Подходящие точки на единичной окружности:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{6} \right)$$

и

$$M_2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right) = M_2 \left( \frac{11\pi}{6} \right)$$

Переводим угол $\frac{11\pi}{6}$ в стандартный вид:

$$\frac{11\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} — 2\pi = -\frac{\pi}{6} + 2\pi$$

Ответ:

$$t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

Итоговый ответ:

• Для части а:

$$t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad t_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

• Для части б:

$$t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$