ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\mathrm{\mid }\sin t\mathrm{\mid }=1$$t = \frac{\pi}{2} + \pi k.$

б) $\sqrt{1-{\sin }^{2}t}=\frac{1}{2}$

в) $\mathrm{\mid }\cos t\mathrm{\mid }=1$$$ \mathrm{\mid }\cos t\mathrm{\mid }=1$$$t = \pi k.$

г) $\sqrt{1 — \cos^2 t} = \frac{\sqrt{2}}{2};$

а) $|\sin t| = 1 \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \sin t = -1 \\ \sin t = 1 \end{cases};$

Подходящие точки:

$$M_1(0; -1) = M_1\left(\frac{3\pi}{2}\right);$$ $$M_2(0; 1) = M_2\left(\frac{\pi}{2}\right);$$

Соответствующие числа:

$$t_1 = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi(2n + 1);$$ $$t_2 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi(2n);$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + \pi k.$

б) $\sqrt{1 — \sin^2 t} = \frac{1}{2};$

$$\sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t — \sin^2 t} = \frac{1}{2};$$ $$\sqrt{\cos^2 t} = \frac{1}{2};$$ $$|\cos t| = \frac{1}{2};$$ $$\cos t = \pm \frac{1}{2};$$

Подходящие точки:

$$M_1\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{\pi}{3}\right);$$ $$M_2\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_2\left(\frac{5\pi}{3}\right);$$ $$M_3\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_3\left(\frac{2\pi}{3}\right);$$ $$M_4\left(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_4\left(\frac{4\pi}{3}\right);$$

Соответствующие числа:

$$t_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + \pi(2n);$$ $$t_2 = \frac{5\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} — 2\pi = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi(2n);$$ $$t_3 = \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + \pi + 2\pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi(2n + 1);$$ $$t_3 = \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + \pi + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + \pi(2n + 1);$$

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k.$

в) $|\cos t| = 1 \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \cos t = -1 \\ \cos t = 1 \end{cases};$

Подходящие точки:

$$M_1(-1; 0) = M_1(\pi);$$ $$M_2(1; 0) = M_2(0);$$

Соответствующие числа:

$$t_1 = \pi + 2\pi n = \pi(2n + 1);$$ $$t_2 = 2\pi n = \pi(2n);$$

Ответ: $t = \pi k.$

г) $\sqrt{1 — \cos^2 t} = \frac{\sqrt{2}}{2};$

$$\sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t — \cos^2 t} = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\sqrt{\sin^2 t} = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$|\sin t| = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\sin t = \pm \frac{\sqrt{2}}{2};$$

Подходящие точки:

$$M_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_1\left(\frac{\pi}{4}\right);$$ $$M_2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_2\left(\frac{3\pi}{4}\right);$$ $$M_3\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_3\left(\frac{5\pi}{4}\right);$$ $$M_4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_4\left(\frac{7\pi}{4}\right);$$

Соответствующие числа:

$$t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(4)}{2};$$ $$t_2 = \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(4n + 1)}{2};$$ $$t_3 = \frac{5\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(4n + 2)}{2};$$ $$t_3 = \frac{7\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(4n + 3)}{2};$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}.$

а) $|\sin t| = 1$

Дано:

$$|\sin t| = 1.$$

Решение:

Поскольку $|\sin t| = 1$, это означает, что $\sin t$ либо равно $1$, либо $-1$. То есть у нас есть два случая:

$$\sin t = 1 \quad \text{или} \quad \sin t = -1.$$

Для каждого из этих случаев найдем подходящие значения $t$.

Случай 1: $\sin t = 1$

• Известно, что синус равен 1 в точке $t = \frac{\pi}{2}$, а также периодично для $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число (период синуса равен $2\pi$).

Таким образом, для $\sin t = 1$:

$$t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Случай 2: $\sin t = -1$

• Синус равен $-1$ в точке $t = \frac{3\pi}{2}$, и так же периодически с периодом $2\pi$. То есть:

$$t = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

Теперь обобщим оба решения в одно выражение. Мы видим, что оба уравнения можно выразить через один общий вид:

$$t = \frac{\pi}{2} + \pi(2n + 1),$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$t = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

б) $\sqrt{1 — \sin^2 t} = \frac{1}{2}$

Дано:

$$\sqrt{1 — \sin^2 t} = \frac{1}{2}.$$

Решение:

Из этого уравнения мы видим, что это выражение похоже на определение косинуса, так как:

$$\sqrt{1 — \sin^2 t} = |\cos t|.$$

Следовательно, у нас есть:

$$|\cos t| = \frac{1}{2}.$$

Теперь решим для $\cos t$, учитывая, что $|\cos t| = \frac{1}{2}$ означает, что $\cos t$ может быть равен $\frac{1}{2}$ или $-\frac{1}{2}$. То есть:

$$\cos t = \pm \frac{1}{2}.$$

Случай 1: $\cos t = \frac{1}{2}$

• Косинус равен $\frac{1}{2}$ в точке $t = \frac{\pi}{3}$, и также для всех значений $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Таким образом, для $\cos t = \frac{1}{2}$:

$$t = \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Случай 2: $\cos t = -\frac{1}{2}$

• Косинус равен $-\frac{1}{2}$ в точке $t = \frac{2\pi}{3}$, и так же периодически с шагом $2\pi$, то есть:

$$t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

Для того, чтобы выразить это решение через одну формулу, преобразуем $t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ следующим образом:

$$t = -\frac{\pi}{3} + \pi(2n + 1).$$

Таким образом, получаем:

$$t = -\frac{\pi}{3} + \pi(2n).$$

Случай 3: $\cos t = -\frac{1}{2}$

• Косинус равен $\frac{1}{2}$ в точке $t = \frac{5\pi}{3}$.

Таким образом:

$$t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k.$$

Ответ:
$t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k.$

в) $|\cos t| = 1$

Дано:

$$|\cos t| = 1.$$

Решение:

Поскольку $|\cos t| = 1$, это означает, что $\cos t$ может быть равен 1 или -1. То есть:

$$\cos t = 1 \quad \text{или} \quad \cos t = -1.$$

Случай 1: $\cos t = 1$

• Косинус равен 1 в точке $t = 0$, и также периодически с шагом $2\pi$. То есть:

$$t = 2\pi n.$$

Случай 2: $\cos t = -1$

• Косинус равен $-1$ в точке $t = \pi$, и периодически с шагом $2\pi$. То есть:

$$t = \pi + 2\pi n = \pi(2n + 1).$$

Теперь обобщим оба решения:

$$t = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

$$t = \pi k.$$

г) $\sqrt{1 — \cos^2 t} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Дано:

$$\sqrt{1 — \cos^2 t} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Решение:

Как и в предыдущих случаях, используя тригонометрические тождества, можем записать:

$$\sqrt{1 — \cos^2 t} = |\sin t|.$$

Следовательно, у нас получается:

$$|\sin t| = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

С учетом того, что $|\sin t| = \frac{\sqrt{2}}{2}$, синус может быть равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. То есть:

$$\sin t = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Случай 1: $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$

• Синус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в точке $t = \frac{\pi}{4}$, и также для всех значений $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Таким образом:

$$t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Случай 2: $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

• Синус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ в точке $t = \frac{5\pi}{4}$, и также периодически с шагом $2\pi$. То есть:

$$t = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n.$$

Случай 3: $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$

• Синус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ также в точке $t = \frac{7\pi}{4}$.

Таким образом, можно выразить решения следующим образом:

$$t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}.$$

Ответ:

$$t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}.$$