ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\operatorname{tg} \frac{5\pi}{4} = \frac{\sin \frac{5\pi}{4}}{\cos \frac{5\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} : \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 1;$

б) $\operatorname{ctg} \frac{4\pi}{3} = \frac{\cos \frac{4\pi}{3}}{\sin \frac{4\pi}{3}} = -\frac{1}{2} : \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}};$

в) $\operatorname{tg} \frac{5\pi}{6} = \frac{\sin \frac{5\pi}{6}}{\cos \frac{5\pi}{6}} = \frac{1}{2} : \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}};$

г) $\operatorname{ctg} \frac{7\pi}{4} = \frac{\cos \frac{7\pi}{4}}{\sin \frac{7\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} : \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = -1;$

а) $\operatorname{tg} \frac{5\pi}{4}$

Для нахождения тангенса угла $\frac{5\pi}{4}$ используем определение тангенса как отношения синуса к косинусу:

$$\operatorname{tg} \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

Итак, для $\theta = \frac{5\pi}{4}$:

$$\operatorname{tg} \frac{5\pi}{4} = \frac{\sin \frac{5\pi}{4}}{\cos \frac{5\pi}{4}}$$

Теперь находим значения синуса и косинуса для угла $\frac{5\pi}{4}$.

Угол $\frac{5\pi}{4}$ находится в третьем квадранте (где синус и косинус отрицательные).

Значение $\frac{5\pi}{4}$ соответствует углу $225^\circ$, который имеет координаты на единичной окружности:

$$\sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Подставляем эти значения в исходное выражение для тангенса:

$$\operatorname{tg} \frac{5\pi}{4} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

Процесс деления одинаковых чисел приводит к:

$$\operatorname{tg} \frac{5\pi}{4} = 1$$

Таким образом, $\operatorname{tg} \frac{5\pi}{4} = 1$.

б) $\operatorname{ctg} \frac{4\pi}{3}$

Для нахождения котангенса угла $\frac{4\pi}{3}$ используем определение котангенса как отношение косинуса к синусу:

$$\operatorname{ctg} \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

Итак, для $\theta = \frac{4\pi}{3}$:

$$\operatorname{ctg} \frac{4\pi}{3} = \frac{\cos \frac{4\pi}{3}}{\sin \frac{4\pi}{3}}$$

Теперь находим значения синуса и косинуса для угла $\frac{4\pi}{3}$.

Угол $\frac{4\pi}{3}$ находится в третьем квадранте (где синус и косинус отрицательные).

Значение $\frac{4\pi}{3}$ соответствует углу $240^\circ$, который имеет координаты на единичной окружности:

$$\sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$$

Подставляем эти значения в исходное выражение для котангенса:

$$\operatorname{ctg} \frac{4\pi}{3} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

Процесс деления отрицательных чисел дает положительный результат. Упрощаем дробь:

$$\operatorname{ctg} \frac{4\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Таким образом, $\operatorname{ctg} \frac{4\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

в) $\operatorname{tg} \frac{5\pi}{6}$

Для нахождения тангенса угла $\frac{5\pi}{6}$ используем определение тангенса как отношение синуса к косинусу:

$$\operatorname{tg} \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

Итак, для $\theta = \frac{5\pi}{6}$:

$$\operatorname{tg} \frac{5\pi}{6} = \frac{\sin \frac{5\pi}{6}}{\cos \frac{5\pi}{6}}$$

Теперь находим значения синуса и косинуса для угла $\frac{5\pi}{6}$.

Угол $\frac{5\pi}{6}$ находится в втором квадранте (где синус положительный, а косинус отрицательный).

Значение $\frac{5\pi}{6}$ соответствует углу $150^\circ$, который имеет координаты на единичной окружности:

$$\sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Подставляем эти значения в исходное выражение для тангенса:

$$\operatorname{tg} \frac{5\pi}{6} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

Упрощаем дробь:

$$\operatorname{tg} \frac{5\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Таким образом, $\operatorname{tg} \frac{5\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

г) $\operatorname{ctg} \frac{7\pi}{4}$

Для нахождения котангенса угла $\frac{7\pi}{4}$ используем определение котангенса как отношение косинуса к синусу:

$$\operatorname{ctg} \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

Итак, для $\theta = \frac{7\pi}{4}$:

$$\operatorname{ctg} \frac{7\pi}{4} = \frac{\cos \frac{7\pi}{4}}{\sin \frac{7\pi}{4}}$$

Теперь находим значения синуса и косинуса для угла $\frac{7\pi}{4}$.

Угол $\frac{7\pi}{4}$ находится в четвертом квадранте (где косинус положительный, а синус отрицательный).

Значение $\frac{7\pi}{4}$ соответствует углу $315^\circ$, который имеет координаты на единичной окружности:

$$\sin \frac{7\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Подставляем эти значения в исходное выражение для котангенса:

$$\operatorname{ctg} \frac{7\pi}{4} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

Процесс деления одинаковых чисел приводит к:

$$\operatorname{ctg} \frac{7\pi}{4} = -1$$

Таким образом, $\operatorname{ctg} \frac{7\pi}{4} = -1$.

Итоговые ответы:

а) $\operatorname{tg} \frac{5\pi}{4} = 1$

б) $\operatorname{ctg} \frac{4\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

в) $\operatorname{tg} \frac{5\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

г) $\operatorname{ctg} \frac{7\pi}{4} = -1$