ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.26 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите равенство:

а) $\frac{\sin \frac{\pi }{4}-\cos \pi -\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}}{2\sin \frac{\pi }{6}-\sin \frac{3\pi }{2}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

б) $\frac{\mathrm{ctg}\frac{5\pi }{4}+\sin \frac{3\pi }{2}\cdot \mathrm{tg}(-\frac{5\pi }{4})}{2\cos \frac{11\pi }{6}+2{\sin }^2\frac{11\pi }{4}}=$$\sqrt{3}-1$

Доказать равенство:

а) $\frac{\sin \frac{\pi }{4}-\cos \pi -\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}}{2\sin \frac{\pi }{6}-\sin \frac{3\pi }{2}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}-(-1)-1}{2\cdot \frac{1}{2}-(-1)}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+1}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$;

Равенство доказано.

б) $\frac{\mathrm{ctg}\frac{5\pi }{4}+\sin \frac{3\pi }{2}\cdot \mathrm{tg}(-\frac{5\pi }{4})}{2\cos \frac{11\pi }{6}+2{\sin }^2\frac{11\pi }{4}}=\frac{\mathrm{ctg}(\frac{5\pi }{4}-\pi )-\sin \frac{3\pi }{2}\cdot \mathrm{tg}\frac{5\pi }{4}}{2\cos (\frac{11\pi }{6}-2\pi )+2{\sin }^2(2\pi -\frac{11\pi }{4})}=$

$=\frac{\mathrm{ctg}\frac{\pi }{4}-(-1)\cdot \mathrm{tg}(\frac{5\pi }{4}-\pi )}{2\cos (-\frac{\pi }{6})+2{\sin }^2(-\frac{3\pi }{4})}=\frac{1+1\cdot \mathrm{tg}\frac{\pi }{4}}{2\cdot \cos \frac{\pi }{6}+2{\sin }^2\frac{3\pi }{4}}=\frac{1+1}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot {\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=$

$=\frac{2}{\sqrt{3}+2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2\sqrt{3}-2}{3-1}=\frac{2\sqrt{3}-2}{2}=\sqrt{3}-1$;

Равенство доказано.

Часть а)

Рассмотрим выражение:

$$\frac{\sin \frac{\pi }{4}-\cos \pi -\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}}{2\sin \frac{\pi }{6}-\sin \frac{3\pi }{2}}$$

Числитель:

1. $\sin \frac{\pi }{4}$:$$\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
2. $\cos \pi$:$$\cos \pi =-1$$
3. $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}$:$$\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$$

Таким образом, числитель выражения равен:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}-(-1)-1=\frac{\sqrt{2}}{2}+1-1=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Знаменатель:

1. $\sin \frac{\pi }{6}$:$$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$$
2. $\sin \frac{3\pi }{2}$:$$\sin \frac{3\pi }{2}=-1$$

Таким образом, знаменатель выражения равен:

$$2\cdot \frac{1}{2}-(-1)=1+1=2$$

Итоговое выражение:

$$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$$

Таким образом, выражение равно $\frac{\sqrt{2}}{4}$, что и требовалось доказать.

Часть б)

Рассмотрим выражение:

$$\frac{\mathrm{ctg}\frac{5\pi }{4}+\sin \frac{3\pi }{2}\cdot \mathrm{tg}(-\frac{5\pi }{4})}{2\cos \frac{11\pi }{6}+2{\sin }^2\frac{11\pi }{4}}$$

Числитель:

1. $\mathrm{ctg}\frac{5\pi }{4}$:$$\mathrm{ctg}\frac{5\pi }{4}=\frac{1}{\mathrm{tg}\frac{5\pi }{4}}=\frac{1}{-1}=-1$$
2. $\sin \frac{3\pi }{2}$:$$\sin \frac{3\pi }{2}=-1$$
3. $\mathrm{tg}(-\frac{5\pi }{4})$:$$\mathrm{tg}(-\frac{5\pi }{4})=\mathrm{tg}\left(\frac{5\pi }{4}\right)=1$$

Таким образом, числитель выражения равен:

$$-1+(-1)\cdot 1=-1-1=-2$$

Знаменатель:

1. $\cos \frac{11\pi }{6}$:$$\cos \frac{11\pi }{6}=\cos (2\pi -\frac{\pi }{6})=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
2. $\sin \frac{11\pi }{4}$:$$\sin \frac{11\pi }{4}=\sin (\frac{11\pi }{4}-2\pi )=\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Знаменатель выражения:

$$2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot {\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\sqrt{3}+2\cdot \frac{2}{4}=\sqrt{3}+1$$

Итоговое выражение:

Теперь подставим числитель и знаменатель:

$$\frac{-2}{\sqrt{3}+1}$$

Для упрощения умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{3}-1$:

$$\frac{-2}{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}=\frac{-2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}$$

В знаменателе применяем разность квадратов:

$$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=3-1=2$$

Таким образом, выражение равно:

$$\frac{-2(\sqrt{3}-1)}{2}=-(\sqrt{3}-1)=1-\sqrt{3}$$

Итак, равенство доказано, и результат равен:

$$1-\sqrt{3}$$