ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Упростить выражение:

а) $\sin t\cdot \cos t\cdot \mathrm{tg}t$

б) $\sin t\cdot \cos t\cdot \mathrm{ctg}t-1$

в) ${\sin }^{2}t-\mathrm{tg}t\cdot \mathrm{ctg}t$

г) $\frac{1-{\cos }^{2}t}{1-{\sin }^{2}t}$

Упростить выражение:

а) $\sin t\cdot \cos t\cdot \mathrm{tg}t=\sin t\cdot \cos t\cdot \frac{\sin t}{\cos t}={\sin }^{2}t$

Ответ: ${\sin }^{2}t$.

б) $\sin t\cdot \cos t\cdot \mathrm{ctg}t-1=\sin t\cdot \cos t\cdot \frac{\cos t}{\sin t}-1={\cos }^{2}t-1=$

$={\cos }^{2}t-({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)=-{\sin }^{2}t$

Ответ: $-{\sin }^{2}t$.

в) ${\sin }^{2}t-\mathrm{tg}t\cdot \mathrm{ctg}t={\sin }^{2}t-\frac{\sin t}{\cos t}\cdot \frac{\cos t}{\sin t}={\sin }^{2}t-1={\sin }^{2}t-({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)=-{\cos }^{2}t$

Ответ: $-{\cos }^{2}t$.

г) $\frac{1-{\cos }^{2}t}{1-{\sin }^{2}t}=\frac{({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)-{\cos }^{2}t}{({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)-{\sin }^{2}t}=\frac{{\sin }^{2}t}{{\cos }^{2}t}={\left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)}^2={\mathrm{tg}}^{2}t$

Ответ: ${\mathrm{tg}}^{2}t$.

Упростить выражения.

а) $\sin t\cdot \cos t\cdot \mathrm{tg}t$

Из определения тангенса: $\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}$.

Подставляем это в выражение:

$$\sin t\cdot \cos t\cdot \mathrm{tg}t=\sin t\cdot \cos t\cdot \frac{\sin t}{\cos t}$$

Обратите внимание, что в числителе и знаменателе стоит $\cos t$, и можно сократить эти одинаковые множители:

$$=\sin t\cdot \sin t={\sin }^{2}t$$

Ответ: ${\sin }^{2}t$

б) $\sin t\cdot \cos t\cdot \mathrm{ctg}t-1$

Из определения котангенса: $\mathrm{ctg}t=\frac{\cos t}{\sin t}$.

Подставляем это в выражение:

$$\sin t\cdot \cos t\cdot \mathrm{ctg}t-1=\sin t\cdot \cos t\cdot \frac{\cos t}{\sin t}-1$$

Сокращаем множители $\sin t$ в числителе и знаменателе:

$$={\cos }^{2}t-1$$

Теперь применим тождество $1={\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t$, чтобы выразить $1$ через ${\sin }^{2}t$ и ${\cos }^{2}t$:

$$={\cos }^{2}t-({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)$$

Упростим:

$$={\cos }^{2}t-{\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t$$$$=-{\sin }^{2}t$$

Ответ: $-{\sin }^{2}t$

в) ${\sin }^{2}t-\mathrm{tg}t\cdot \mathrm{ctg}t$

Из определения тангенса и котангенса:

$$\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t},\mathrm{ctg}t=\frac{\cos t}{\sin t}$$

Подставляем это в выражение:

$${\sin }^{2}t-\mathrm{tg}t\cdot \mathrm{ctg}t={\sin }^{2}t-\frac{\sin t}{\cos t}\cdot \frac{\cos t}{\sin t}$$

Умножаем дроби:

$$={\sin }^{2}t-\frac{\sin t\cdot \cos t}{\cos t\cdot \sin t}$$

Сокращаем множители $\sin t$ и $\cos t$:

$$={\sin }^{2}t-1$$

Применяем тождество $1={\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t$:

$$={\sin }^{2}t-({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)$$

Упрощаем:

$$={\sin }^{2}t-{\sin }^{2}t-{\cos }^{2}t$$$$=-{\cos }^{2}t$$

Ответ: $-{\cos }^{2}t$

г) $\frac{1-{\cos }^{2}t}{1-{\sin }^{2}t}$

Используем тождество $1={\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t$, чтобы выразить $1-{\cos }^{2}t$ и $1-{\sin }^{2}t$ через ${\sin }^{2}t$ и ${\cos }^{2}t$:

$$1-{\cos }^{2}t={\sin }^{2}t$$$$1-{\sin }^{2}t={\cos }^{2}t$$

Подставляем эти выражения в исходное выражение:

$$\frac{1-{\cos }^{2}t}{1-{\sin }^{2}t}=\frac{{\sin }^{2}t}{{\cos }^{2}t}$$

Это выражение можно записать как квадрат тангенса:

$$={\left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)}^2={\mathrm{tg}}^{2}t$$

Ответ: ${\mathrm{tg}}^{2}t$