ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Доказать тождество:

а) $\operatorname{tg}(\pi — t) = -\operatorname{tg} t$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\operatorname{tg}(\pi — t) = \frac{\sin(-t + \pi)}{\cos(-t + \pi)} = \frac{-\sin(-t)}{-\cos(-t)} = \frac{\sin(-t)}{\cos(-t)} = \frac{-\sin t}{\cos t} = -\operatorname{tg} t;$$

Тождество доказано.

б) $\operatorname{tg}(2\pi + t) = \operatorname{tg} t$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\operatorname{tg}(2\pi + t) = \frac{\sin(t + 2\pi)}{\cos(t + 2\pi)} = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} = \operatorname{tg} t;$$

Тождество доказано.

в) $\operatorname{ctg}(\pi — t) = -\operatorname{ctg} t$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\operatorname{ctg}(\pi — t) = \frac{\cos(-t + \pi)}{\sin(-t + \pi)} = \frac{-\cos(-t)}{-\sin(-t)} = \frac{\cos(-t)}{\sin(-t)} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\operatorname{ctg} t;$$

Тождество доказано.

г) $\operatorname{ctg}(2\pi + t) = \operatorname{ctg} t$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\operatorname{ctg}(2\pi + t) = \frac{\cos(t + 2\pi)}{\sin(t + 2\pi)} = \frac{\cos(t)}{\sin(t)} = \operatorname{ctg} t;$$

Тождество доказано.

Доказать тождество:

а) $\operatorname{tg}(\pi — t) = -\operatorname{tg} t$

Для начала вспомним, что $\operatorname{tg} \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$. Это определение тангенса, которое мы будем использовать для преобразования выражений.

Преобразуем левую часть равенства:

$$\operatorname{tg}(\pi — t) = \frac{\sin(\pi — t)}{\cos(\pi — t)}$$

Теперь используем формулы для синуса и косинуса разности углов:

• $\sin(\pi — t) = \sin \pi \cdot \cos t — \cos \pi \cdot \sin t = 0 \cdot \cos t — (-1) \cdot \sin t = \sin t$,
• $\cos(\pi — t) = \cos \pi \cdot \cos t — \sin \pi \cdot \sin t = (-1) \cdot \cos t — 0 \cdot \sin t = -\cos t$.

Таким образом:

$$\operatorname{tg}(\pi — t) = \frac{\sin t}{-\cos t} = -\frac{\sin t}{\cos t} = -\operatorname{tg} t$$

Тождество доказано.

б) $\operatorname{tg}(2\pi + t) = \operatorname{tg} t$

Преобразуем левую часть равенства:

$$\operatorname{tg}(2\pi + t) = \frac{\sin(2\pi + t)}{\cos(2\pi + t)}$$

Используем формулы для синуса и косинуса суммы:

• $\sin(2\pi + t) = \sin 2\pi \cdot \cos t + \cos 2\pi \cdot \sin t = 0 \cdot \cos t + 1 \cdot \sin t = \sin t$,
• $\cos(2\pi + t) = \cos 2\pi \cdot \cos t — \sin 2\pi \cdot \sin t = 1 \cdot \cos t — 0 \cdot \sin t = \cos t$.

Таким образом:

$$\operatorname{tg}(2\pi + t) = \frac{\sin t}{\cos t} = \operatorname{tg} t$$

Тождество доказано.

в) $\operatorname{ctg}(\pi — t) = -\operatorname{ctg} t$

Для начала вспомним, что $\operatorname{ctg} \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$. Это определение котангенса.

Преобразуем левую часть равенства:

$$\operatorname{ctg}(\pi — t) = \frac{\cos(\pi — t)}{\sin(\pi — t)}$$

Используем формулы для синуса и косинуса разности углов:

• $\cos(\pi — t) = \cos \pi \cdot \cos t — \sin \pi \cdot \sin t = (-1) \cdot \cos t — 0 \cdot \sin t = -\cos t$,
• $\sin(\pi — t) = \sin \pi \cdot \cos t — \cos \pi \cdot \sin t = 0 \cdot \cos t — (-1) \cdot \sin t = \sin t$.

Таким образом:

$$\operatorname{ctg}(\pi — t) = \frac{-\cos t}{\sin t} = -\frac{\cos t}{\sin t} = -\operatorname{ctg} t$$

Тождество доказано.

г) $\operatorname{ctg}(2\pi + t) = \operatorname{ctg} t$

Преобразуем левую часть равенства:

$$\operatorname{ctg}(2\pi + t) = \frac{\cos(2\pi + t)}{\sin(2\pi + t)}$$

Используем формулы для синуса и косинуса суммы:

• $\cos(2\pi + t) = \cos 2\pi \cdot \cos t — \sin 2\pi \cdot \sin t = 1 \cdot \cos t — 0 \cdot \sin t = \cos t$,
• $\sin(2\pi + t) = \sin 2\pi \cdot \cos t + \cos 2\pi \cdot \sin t = 0 \cdot \cos t + 1 \cdot \sin t = \sin t$.

Таким образом:

$$\operatorname{ctg}(2\pi + t) = \frac{\cos t}{\sin t} = \operatorname{ctg} t$$

Тождество доказано.