ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить $\sin t$ и $\cos t$, если:

а) $t = \frac{13\pi}{6} = \frac{13\pi}{6} — 2\pi = \frac{\pi}{6}$;
$\sin t = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$;
$\cos t = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $t = -\frac{8\pi}{3} = 4\pi — \frac{8\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$;
$\sin t = \sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;
$\cos t = \cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$;

в) $t = \frac{23\pi}{6} = \frac{23\pi}{6} — 2\pi = \frac{11\pi}{6}$;
$\sin t = \sin \frac{11\pi}{6} = -\frac{1}{2}$;
$\cos t = \cos \frac{11\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $t = -\frac{11\pi}{3} = 4\pi — \frac{11\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$;
$\sin t = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
$\cos t = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

Вычислить $\sin t$ и $\cos t$, если:

а) $t = \frac{13\pi}{6}$

Шаг 1: Приводим угол в диапазон от 0 до $2\pi$

Так как угол $t = \frac{13\pi}{6}$ больше $2\pi$ (так как $2\pi = \frac{12\pi}{6}$), необходимо уменьшить его на $2\pi$, чтобы перевести в диапазон от $0$ до $2\pi$.

$$t = \frac{13\pi}{6} — 2\pi = \frac{13\pi}{6} — \frac{12\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$$

Теперь мы будем вычислять значения тригонометрических функций для угла $t = \frac{\pi}{6}$.

Шаг 2: Используем стандартные значения для угла $\frac{\pi}{6}$

Из таблицы стандартных значений тригонометрических функций:

$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ:

$$\sin t = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \cos t = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

б) $t = -\frac{8\pi}{3}$

Шаг 1: Приводим угол в диапазон от 0 до $2\pi$

Угол $t = -\frac{8\pi}{3}$ отрицателен, и нужно перевести его в положительный угол. Для этого добавим к углу $2\pi$, пока угол не станет положительным.

$$t = -\frac{8\pi}{3} + 2\pi = -\frac{8\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}$$

Теперь угол всё ещё отрицателен, добавляем $2\pi$ ещё раз:

$$t = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = -\frac{2\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$$

Теперь угол $t = \frac{4\pi}{3}$ лежит в третьем квадранте.

Шаг 2: Используем стандартные значения для угла $\frac{4\pi}{3}$

Угол $\frac{4\pi}{3}$ находится в третьем квадранте, где синус и косинус оба отрицательны. Из таблицы стандартных значений для угла $\frac{\pi}{3}$:

$$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$

Так как угол $\frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}$, мы можем использовать знак для функций в третьем квадранте:

• Синус будет отрицательным: $\sin \frac{4\pi}{3} = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Косинус будет отрицательным: $\cos \frac{4\pi}{3} = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$.

Ответ:

$$\sin t = \sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos t = \cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$$

в) $t = \frac{23\pi}{6}$

Шаг 1: Приводим угол в диапазон от 0 до $2\pi$

Угол $t = \frac{23\pi}{6}$ больше $2\pi$ (так как $2\pi = \frac{12\pi}{6}$). Нужно уменьшить его на $2\pi$, чтобы перевести в диапазон от $0$ до $2\pi$.

$$t = \frac{23\pi}{6} — 2\pi = \frac{23\pi}{6} — \frac{12\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$$

Теперь угол $t = \frac{11\pi}{6}$ лежит в четвертом квадранте.

Шаг 2: Используем стандартные значения для угла $\frac{11\pi}{6}$

Угол $\frac{11\pi}{6}$ находится в четвертом квадранте, где синус отрицателен, а косинус положителен. Из таблицы стандартных значений для угла $\frac{\pi}{6}$:

$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Так как угол $\frac{11\pi}{6} = 2\pi — \frac{\pi}{6}$, мы применяем знак для функций в четвертом квадранте:

• Синус будет отрицательным: $\sin \frac{11\pi}{6} = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$.
• Косинус будет положительным: $\cos \frac{11\pi}{6} = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

$$\sin t = \sin \frac{11\pi}{6} = -\frac{1}{2}, \quad \cos t = \cos \frac{11\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

г) $t = -\frac{11\pi}{3}$

Шаг 1: Приводим угол в диапазон от 0 до $2\pi$

Угол $t = -\frac{11\pi}{3}$ отрицателен. Добавим $2\pi$ (или $\frac{6\pi}{3}$) дважды, чтобы получить положительный угол.

$$t = -\frac{11\pi}{3} + 2\pi = -\frac{11\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = -\frac{5\pi}{3}$$

Добавляем ещё $2\pi$:

$$t = -\frac{5\pi}{3} + 2\pi = -\frac{5\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$$

Теперь угол $t = \frac{\pi}{3}$.

Шаг 2: Используем стандартные значения для угла $\frac{\pi}{3}$

Из таблицы стандартных значений для угла $\frac{\pi}{3}$:

$$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$

Ответ:

$$\sin t = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos t = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$

Итоговые ответы:

а) $\sin t = \frac{1}{2}, \quad \cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$
б) $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos t = -\frac{1}{2}$
в) $\sin t = -\frac{1}{2}, \quad \cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$
г) $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos t = \frac{1}{2}$