ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.35 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\operatorname{ctg} 5 \cdot (x — 1) \geq 0$;

Число 5 располагается в IV четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi;$$ $$x > 0 \text{ и } y < 0;$$ $$\operatorname{ctg} 5 < 0;$$

Получим неравенство:

$$x — 1 \leq 0;$$ $$x \leq 1;$$

Ответ: $x \leq 1$.

б) $\frac{\operatorname{tg} 7 \cdot \cos 1}{\sin 1} \cdot (2x^2 — 72) < 0$;

$\operatorname{tg}(7 — 2\pi) \cdot \operatorname{ctg} 1 \cdot (2x^2 — 72) < 0$;

$\operatorname{tg} 0,72 \cdot \operatorname{ctg} 1 \cdot (2x^2 — 72) < 0$;

Числа 0,72 и 1 располагаются в I четверти:

$$0 < 0,72 < 1 < \frac{\pi}{2};$$ $$x > 0 \text{ и } y > 0;$$ $$\operatorname{tg} 0,72 > 0;$$ $$\operatorname{ctg} 1 > 0;$$

Получим неравенство:

$$2x^2 — 72 < 0;$$ $$x^2 — 36 < 0;$$ $$(x + 6)(x — 6) < 0;$$ $$-6 < x < 6;$$

Ответ: $-6 < x < 6$.

в) $(\operatorname{tg} 2 \cdot \sin 5) \cdot (7 — 5x) \leq 0$;

Число 2 располагается во II четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi;$$ $$x < 0 \text{ и } y > 0;$$ $$\operatorname{tg} < 0;$$

Число 5 располагается в IV четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi;$$ $$x > 0 \text{ и } y < 0;$$ $$\sin 5 < 0;$$

Получим неравенство:

$$7 — 5x \leq 0;$$ $$5x \geq 7;$$ $$x \geq 1,4;$$

Ответ: $x \geq 1,4$.

г) $\operatorname{tg} 1 \cdot \operatorname{ctg} 2 \cdot \operatorname{tg} 3 \cdot \operatorname{ctg} 4 \cdot (x^2 + 2) > 0$;

Число 1 располагается в I четверти:

$$0 < 1 < \frac{\pi}{2};$$ $$x > 0 \text{ и } y > 0;$$ $$\operatorname{tg} 1 > 0;$$

Числа 2 и 3 располагаются во II четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < 3 < \pi;$$ $$x < 0 \text{ и } y > 0;$$ $$\operatorname{ctg} 2 < 0;$$ $$\operatorname{tg} 3 < 0;$$

Число 4 располагается в III четверти:

$$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2};$$ $$x < 0 \text{ и } y < 0;$$ $$\operatorname{ctg} 4 > 0;$$

Получим неравенство:

$$x^2 + 2 \geq 0;$$ $$x^2 > -2;$$ $$x \text{ — любое число};$$

Ответ: $x \in \mathbb{R}$.

а) $\operatorname{ctg} 5 \cdot (x — 1) \geq 0$;

1. Исследуем неравенство $\operatorname{ctg} 5 \cdot (x — 1) \geq 0$:

Необходимо, чтобы произведение $\operatorname{ctg} 5 \cdot (x — 1)$ было неотрицательным (больше или равно нулю). Условие будет выполнено в том случае, если оба множителя имеют одинаковый знак. Рассмотрим каждый множитель по отдельности.

2. Рассмотрим первую часть неравенства: $\operatorname{ctg} 5$.

Часто для решения подобных неравенств полезно определить, в какой четверти находится угол, который мы исследуем. Рассмотрим $\operatorname{ctg} 5$. Мы знаем, что $\operatorname{ctg} \theta = \frac{1}{\tan \theta}$, и что функция $\operatorname{ctg} \theta$ меняет знак в зависимости от четверти.

Найдем, где находится угол 5 (в радианах). Для этого определим его значение:

$$5 \, \text{радиан} \approx 5 \times \frac{180^\circ}{\pi} \approx 286.48^\circ.$$

Число 286.48° попадает в IV четверть (где углы от 270° до 360°). В IV четверти тангенс отрицателен, а значит, котангенс (обратная функция) будет отрицателен. Таким образом, $\operatorname{ctg} 5 < 0$.

3. Исследуем вторую часть неравенства: $(x — 1)$.

Неравенство $x — 1 \geq 0$ выполняется, когда $x \geq 1$.

4. Условия для произведения $\operatorname{ctg} 5 \cdot (x — 1) \geq 0$:

Нам нужно, чтобы произведение двух чисел было неотрицательным. Сначала заметим, что:

• $\operatorname{ctg} 5 < 0$ (в IV четверти).
• Чтобы произведение было неотрицательным, второй множитель $(x — 1)$ тоже должен быть отрицательным, так как произведение двух отрицательных чисел всегда положительно.

Таким образом, мы получаем условие:

$$x — 1 \leq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 1.$$

Ответ:

$$x \leq 1.$$

б) $\frac{\operatorname{tg} 7 \cdot \cos 1}{\sin 1} \cdot (2x^2 — 72) < 0$;

1. Упростим выражение:

Заменим $\frac{\operatorname{tg} 7 \cdot \cos 1}{\sin 1}$:

$$\frac{\operatorname{tg} 7 \cdot \cos 1}{\sin 1} = \operatorname{tg} 7 \cdot \frac{\cos 1}{\sin 1} = \operatorname{tg} 7 \cdot \operatorname{ctg} 1.$$

Таким образом, неравенство можно записать как:

$$\operatorname{tg} 7 \cdot \operatorname{ctg} 1 \cdot (2x^2 — 72) < 0.$$

Теперь рассмотрим каждую часть выражения.

2. Исследуем $\operatorname{tg} 7$.

Найдем значение угла 7 радиан:

$$7 \, \text{радиан} \approx 7 \times \frac{180^\circ}{\pi} \approx 402.12^\circ.$$

402.12° находится в III четверти, где тангенс положителен. Таким образом, $\operatorname{tg} 7 > 0$.

3. Исследуем $\operatorname{ctg} 1$.

Для угла 1 радиан (примерно 57.3°) мы знаем, что котангенс в первой четверти положителен, так как тангенс также положителен. Следовательно:

$$\operatorname{ctg} 1 > 0.$$

4. Необходимые условия для неравенства:

Теперь неравенство выглядит так:

$$\operatorname{tg} 7 \cdot \operatorname{ctg} 1 \cdot (2x^2 — 72) < 0.$$

Поскольку оба множителя $\operatorname{tg} 7 > 0$ и $\operatorname{ctg} 1 > 0$, чтобы неравенство выполнялось, выражение $(2x^2 — 72)$ должно быть отрицательным:

$$2x^2 — 72 < 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 < 36 \quad \Rightarrow \quad -6 < x < 6.$$

Ответ:

$$-6 < x < 6.$$

в) $(\operatorname{tg} 2 \cdot \sin 5) \cdot (7 — 5x) \leq 0$;

1. Рассмотрим выражение $\operatorname{tg} 2 \cdot \sin 5$:

• Число 2 радиан (примерно 114.6°) находится во II четверти, где тангенс отрицателен, то есть $\operatorname{tg} 2 < 0$.
• Число 5 радиан (примерно 286.5°) находится в IV четверти, где синус отрицателен, то есть $\sin 5 < 0$.

Следовательно, произведение $\operatorname{tg} 2 \cdot \sin 5$ будет положительным, так как произведение двух отрицательных чисел положительно.

2. Рассмотрим вторую часть выражения $(7 — 5x)$.

Чтобы произведение двух чисел было не положительным (меньше или равно нулю), второй множитель $(7 — 5x)$ должен быть отрицательным или нулевым:

$$7 — 5x \leq 0 \quad \Rightarrow \quad 5x \geq 7 \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{7}{5} = 1.4.$$

Ответ:

$$x \geq 1.4.$$

г) $\operatorname{tg} 1 \cdot \operatorname{ctg} 2 \cdot \operatorname{tg} 3 \cdot \operatorname{ctg} 4 \cdot (x^2 + 2) > 0$;

1. Рассмотрим произведение $\operatorname{tg} 1 \cdot \operatorname{ctg} 2 \cdot \operatorname{tg} 3 \cdot \operatorname{ctg} 4$:

• $\operatorname{tg} 1$ — положительное число, так как угол 1 радиан находится в первой четверти.
• $\operatorname{ctg} 2$ — отрицательное число, так как угол 2 радиана находится во второй четверти.
• $\operatorname{tg} 3$ — отрицательное число, так как угол 3 радиана находится в третьей четверти.
• $\operatorname{ctg} 4$ — положительное число, так как угол 4 радиана находится в третьей четверти.

Таким образом, произведение:

$$\operatorname{tg} 1 \cdot \operatorname{ctg} 2 \cdot \operatorname{tg} 3 \cdot \operatorname{ctg} 4 = (+) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (+) = (+).$$

Произведение этих чисел положительно.

2. Рассмотрим выражение $(x^2 + 2)$:

Так как $x^2 + 2 \geq 2$ для любых $x$, это выражение всегда положительно. Следовательно, всё выражение $\operatorname{tg} 1 \cdot \operatorname{ctg} 2 \cdot \operatorname{tg} 3 \cdot \operatorname{ctg} 4 \cdot (x^2 + 2) > 0$ всегда будет положительным, независимо от значения $x$.

Ответ:

$$x \in \mathbb{R}.$$