ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.39 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

a) sin 2, sin 3, cos 4, cos 5;

б) cos 3, cos 4, cos 6, cos 7;

в) sin 3, sin 4, sin 6, sin 7;

г) cos 2, cos 3, sin 4, sin 5.

Расположить числа в порядке возрастания:

а) sin 2; sin 3; cos 4; cos 5;

Числа 2 и 3 располагаются во II четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < 3 < \pi;$$ $$\sin t > 0;$$

Число 4 располагается в III четверти:

$$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2};$$ $$\cos t < 0;$$

Число 5 располагается в IV четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi;$$ $$\cos t > 0;$$

Расстояние до точек максимума:

$$y_1 = \left| \frac{\pi}{2} — 2 \right| \approx 0,43;$$ $$y_2 = \left| \frac{\pi}{2} — 3 \right| \approx 1,43;$$ $$x_4 = |2\pi — 5| \approx 1,28;$$

Ответ: cos 4; sin 3; cos 5; sin 2.

б) cos 3; cos 4; cos 6; cos 7;

$$\cos 7 = \cos(7 — 2\pi) \approx \cos 0,72;$$

Число 3 располагается во II четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 3 < \pi;$$ $$\cos t < 0;$$

Число 4 располагается в третьей четверти:

$$\pi < 5 < \frac{3\pi}{2};$$ $$\cos t < 0;$$

Число 6 располагается в IV четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi;$$ $$\cos t > 0;$$

Число 0,72 располагается в I четверти:

$$0 < 0,72 < \frac{\pi}{2};$$ $$\cos t > 0;$$

Расстояние до точек максимума:

$$x_1 = \left| \frac{\pi}{2} — 3 \right| \approx 1,43;$$ $$x_2 = \left| \frac{3\pi}{2} — 4 \right| \approx 0,71;$$ $$x_3 = |2\pi — 6| \approx 0,28;$$ $$x_4 = |0 — 0,72| \approx 0,72;$$

Ответ: cos 3; cos 4; cos 7; cos 6.

в) sin 3; sin 4; sin 6; sin 7;

$$\sin 7 = \sin(7 — 2\pi) \approx \sin 0,72;$$

Число 3 располагается во II четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 3 < \pi;$$ $$\sin t > 0;$$

Число 4 располагается в третьей четверти:

$$\pi < 5 < \frac{3\pi}{2};$$ $$\sin t < 0;$$

Число 6 располагается в IV четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi;$$ $$\sin t < 0;$$

Число 0,72 располагается в I четверти:

$$0 < 0,72 < \frac{\pi}{2};$$ $$\sin t > 0;$$

Расстояние до точек максимума:

$$y_1 = \left| \frac{\pi}{2} — 3 \right| \approx 1,43;$$ $$y_2 = |\pi — 4| \approx 0,86;$$ $$y_3 = |2\pi — 6| \approx 0,28;$$ $$y_4 = \left| \frac{\pi}{2} — 0,72 \right| \approx 0,85;$$

Ответ: sin 4; sin 6; sin 3; sin 7.

г) cos 2; cos 3; sin 4; sin 5;

Числа 2 и 3 располагаются во II четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < 3 < \pi;$$ $$\cos t < 0;$$

Число 4 располагается в III четверти:

$$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2};$$ $$\sin t < 0;$$

Число 5 располагается в IV четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi;$$ $$\sin t < 0;$$

Расстояние до точек максимума:

$$x_1 = \left| \frac{\pi}{2} — 2 \right| \approx 0,43;$$ $$x_2 = \left| \frac{\pi}{2} — 3 \right| \approx 1,43;$$ $$y_3 = |\pi — 4| \approx 0,86;$$ $$y_4 = |2\pi — 5| \approx 1,28;$$

Ответ: cos 3; sin 5; sin 4; cos 2.

а) sin 2; sin 3; cos 4; cos 5

1) Рассмотрим значения $\sin 2$, $\sin 3$, $\cos 4$, $\cos 5$.

Для каждого значения необходимо определить его расположение на единичной окружности, а также вычислить расстояние до точек максимума (где функции $\sin t$ и $\cos t$ достигают 1 или -1).

Число 2:

Число $2$ радиан находится во второй четверти. Мы можем это увидеть, если вспомнить, что границы четвертей для углов на единичной окружности:

$$\frac{\pi}{2} \approx 1.57 \quad \text{и} \quad \pi \approx 3.14$$

Так что:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$$

В этой области значение $\sin t$ положительное:

$$\sin 2 > 0$$

Число 3:

Число $3$ радиан тоже располагается во второй четверти. Местоположение угла подтверждается аналогично:

$$\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$$

Значение $\sin 3$ также положительное:

$$\sin 3 > 0$$

Число 4:

Число $4$ радиана лежит в третьей четверти, где значение $\cos t$ отрицательное:

$$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$$

Таким образом, значение $\cos 4$ будет отрицательным:

$$\cos 4 < 0$$

Число 5:

Число $5$ радианов находится в четвертой четверти, где значение $\cos t$ положительное:

$$\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$$

Следовательно, значение $\cos 5$ будет положительным:

$$\cos 5 > 0$$

2) Расстояние до точек максимума:

Теперь нужно вычислить расстояние от каждого угла до точки максимума тригонометрической функции (в данном случае максимумы $\sin t$ и $\cos t$ равны 1).

Для $\sin t$:

Максимум $\sin t$ достигается в точке $\frac{\pi}{2}$.

Для $\cos t$:

Максимум $\cos t$ достигается в точке 0 или $2\pi$.

Расстояние до точки максимума для $\sin 2$ от $\frac{\pi}{2}$:

$$y_1 = \left| \frac{\pi}{2} — 2 \right| \approx 0,43$$

Расстояние до точки максимума для $\sin 3$ от $\frac{\pi}{2}$:

$$y_2 = \left| \frac{\pi}{2} — 3 \right| \approx 1,43$$

Расстояние до точки максимума для $\cos 4$ от 0 (или $2\pi$):

$$x_4 = |2\pi — 5| \approx 1,28$$

3) Порядок возрастания:

На основании данных, которые мы получили, расположим числа по возрастанию:

1. $\cos 4$ меньше всего, так как его значение отрицательное и минимальное.
2. $\sin 3$ больше, так как его значение положительное, но не максимально.
3. $\cos 5$ положительное, но больше $\sin 2$.
4. $\sin 2$ наибольшее значение среди всех.

Ответ для части (а):

$$\cos 4; \sin 3; \cos 5; \sin 2.$$

б) cos 3; cos 4; cos 6; cos 7

1) Рассмотрим числа $\cos 3$, $\cos 4$, $\cos 6$, $\cos 7$.

Мы будем использовать те же принципы, что и для части (а), чтобы расположить числа по величине, но с учетом значений $\cos t$ в различных четвертях.

Число $3$ радиан в пределах второй четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$$

Значение $\cos 3$ отрицательное:

$$\cos 3 < 0$$

Число $4$ радиан в третьей четверти:

$$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$$

Значение $\cos 4$ тоже отрицательное:

$$\cos 4 < 0$$

Число $6$ радиан в четвертой четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$$

Значение $\cos 6$ положительное:

$$\cos 6 > 0$$

Число $7$ радиан в первой четверти (периодичность):

$$\cos 7 = \cos(7 — 2\pi) \approx \cos 0,72$$

Значение $\cos 7$ тоже положительное:

$$\cos 7 > 0$$

2) Расстояние до точек максимума:

Максимум $\cos t$ — это значение 1, достигаемое при $t = 0, 2\pi, 4\pi, \dots$.

Расстояние для $\cos 3$:

$$x_1 = \left| \frac{\pi}{2} — 3 \right| \approx 1,43$$

Расстояние для $\cos 4$:

$$x_2 = \left| \frac{3\pi}{2} — 4 \right| \approx 0,71$$

Расстояние для $\cos 6$:

$$x_3 = |2\pi — 6| \approx 0,28$$

Расстояние для $\cos 7$:

$$x_4 = |0 — 0,72| \approx 0,72$$

3) Порядок возрастания:

Теперь, по аналогии с первым пунктом, мы расставим все значения по возрастанию, ориентируясь на их знаки и расстояния до максимумов:

1. $\cos 3$ — наименьшее (отрицательное).
2. $\cos 4$ — следующее, также отрицательное.
3. $\cos 7$ — наименьшее положительное.
4. $\cos 6$ — наибольшее положительное.

Ответ для части (б):

$$\cos 3; \cos 4; \cos 7; \cos 6.$$

в) sin 3; sin 4; sin 6; sin 7

1) Рассмотрим значения $\sin 3$, $\sin 4$, $\sin 6$, $\sin 7$.

Число $3$ радиан во второй четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$$

Значение $\sin 3$ положительное:

$$\sin 3 > 0$$

Число $4$ радиан в третьей четверти:

$$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$$

Значение $\sin 4$ отрицательное:

$$\sin 4 < 0$$

Число $6$ радиан в четвертой четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$$

Значение $\sin 6$ отрицательное:

$$\sin 6 < 0$$

Число $7$ радиан в первой четверти:

$$\sin 7 = \sin(7 — 2\pi) \approx \sin 0,72$$

Значение $\sin 7$ положительное:

$$\sin 7 > 0$$

2) Расстояние до точек максимума:

Максимум $\sin t$ достигается в точке $\frac{\pi}{2}$.

Расстояние для $\sin 3$:

$$y_1 = \left| \frac{\pi}{2} — 3 \right| \approx 1,43$$

Расстояние для $\sin 4$:

$$y_2 = |\pi — 4| \approx 0,86$$

Расстояние для $\sin 6$:

$$y_3 = |2\pi — 6| \approx 0,28$$

Расстояние для $\sin 7$:

$$y_4 = \left| \frac{\pi}{2} — 0,72 \right| \approx 0,85$$

3) Порядок возрастания:

1. $\sin 4$ и $\sin 6$ — отрицательные, и среди них $\sin 6$ ближе к максимуму.
2. $\sin 3$ и $\sin 7$ — положительные, $\sin 7$ ближе к максимуму.

Ответ для части (в):

$$\sin 4; \sin 6; \sin 3; \sin 7.$$

г) cos 2; cos 3; sin 4; sin 5

1) Рассмотрим числа $\cos 2$, $\cos 3$, $\sin 4$, $\sin 5$.

1. $\cos 2$ — отрицательное, так как $2$ находится во второй четверти.
2. $\cos 3$ — тоже отрицательное, так как $3$ находится в той же четверти.
3. $\sin 4$ — отрицательное, так как $4$ в третьей четверти.
4. $\sin 5$ — тоже отрицательное, так как $5$ в четвертой четверти.

2) Расстояние до точек максимума:

Расстояние для $\cos 2$:

$$x_1 = \left| \frac{\pi}{2} — 2 \right| \approx 0,43$$

Расстояние для $\cos 3$:

$$x_2 = \left| \frac{\pi}{2} — 3 \right| \approx 1,43$$

Расстояние для $\sin 4$:

$$y_3 = |\pi — 4| \approx 0,86$$

Расстояние для $\sin 5$:

$$y_4 = |2\pi — 5| \approx 1,28$$

3) Порядок возрастания:

Наименьшее значение для $\cos 3$, затем $\sin 5$, затем $\sin 4$, и наибольшее значение для $\cos 2$.

Ответ для части (г):

$$\cos 3; \sin 5; \sin 4; \cos 2.$$