ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \cos\frac{\pi}{3} + \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{6} =$

$= -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}(\sqrt{3} — \sqrt{2} + 1);$

Ответ: $\frac{1}{2}(\sqrt{3} — \sqrt{2} + 1)$.

б) $\cos\frac{\pi}{6} \cdot \cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{3} \cdot \cos\frac{\pi}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0 = 0;$

Ответ: $0$.

в) $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) — \cos(-\pi) + \sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = -\sin\frac{\pi}{2} — \cos\pi — \sin\frac{3\pi}{2} =$

$= -1 — (-1) — (-1) = -1 + 1 + 1 = 2 — 1 = 1;$

Ответ: $1$.

г) $\sin\frac{\pi}{6} \cdot \sin\frac{\pi}{4} \cdot \sin\frac{\pi}{3} \cdot \sin\frac{\pi}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{6}}{8};$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{8}$.

Вычислим каждое из выражений, подробно объяснив все шаги.

а) $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \cos\frac{\pi}{3} + \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)$

Шаг 1: Разбираем $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$

Из свойства синуса, что $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем:

$$\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\frac{\pi}{4}$$

Из стандартных значений:

$$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Следовательно:

$$\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 2: Разбираем $\cos\frac{\pi}{3}$

Из стандартных значений:

$$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Разбираем $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)$

Из свойства косинуса, что $\cos(-x) = \cos(x)$, получаем:

$$\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{6}$$

Из стандартных значений:

$$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 4: Подставляем все значения в выражение

Теперь подставим все вычисленные значения в исходное выражение:

$$\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \cos\frac{\pi}{3} + \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 5: Приводим к общему знаменателю

Приведем все члены к общему знаменателю:

$$= \frac{1}{2}(\sqrt{3} — \sqrt{2} + 1)$$

Ответ:

$$\frac{1}{2}(\sqrt{3} — \sqrt{2} + 1)$$

б) $\cos\frac{\pi}{6} \cdot \cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{3} \cdot \cos\frac{\pi}{2}$

Шаг 1: Разбираем $\cos\frac{\pi}{6}$

Из стандартных значений:

$$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 2: Разбираем $\cos\frac{\pi}{4}$

Из стандартных значений:

$$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 3: Разбираем $\cos\frac{\pi}{3}$

Из стандартных значений:

$$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$

Шаг 4: Разбираем $\cos\frac{\pi}{2}$

Из стандартных значений:

$$\cos\frac{\pi}{2} = 0$$

Шаг 5: Подставляем все значения в выражение

Теперь подставим все вычисленные значения:

$$\cos\frac{\pi}{6} \cdot \cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{3} \cdot \cos\frac{\pi}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0$$

Шаг 6: Умножаем

Так как один из множителей равен 0, весь результат будет равен 0:

$$= 0$$

Ответ:

$$0$$

в) $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) — \cos(-\pi) + \sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right)$

Шаг 1: Разбираем $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$

Из свойства синуса, что $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем:

$$\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\frac{\pi}{2}$$

Из стандартных значений:

$$\sin\frac{\pi}{2} = 1$$

Следовательно:

$$\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$$

Шаг 2: Разбираем $\cos(-\pi)$

Из свойства косинуса, что $\cos(-x) = \cos(x)$, получаем:

$$\cos(-\pi) = \cos\pi$$

Из стандартных значений:

$$\cos\pi = -1$$

Следовательно:

$$\cos(-\pi) = -1$$

Шаг 3: Разбираем $\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right)$

Из свойства синуса, что $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем:

$$\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = -\sin\frac{3\pi}{2}$$

Из стандартных значений:

$$\sin\frac{3\pi}{2} = -1$$

Следовательно:

$$\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = -(-1) = 1$$

Шаг 4: Подставляем все значения в выражение

Теперь подставим все вычисленные значения:

$$\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) — \cos(-\pi) + \sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = -1 — (-1) + 1$$

Шаг 5: Упрощаем выражение

$$= -1 + 1 + 1 = 2 — 1 = 1$$

Ответ:

$$1$$

г) $\sin\frac{\pi}{6} \cdot \sin\frac{\pi}{4} \cdot \sin\frac{\pi}{3} \cdot \sin\frac{\pi}{2}$

Шаг 1: Разбираем $\sin\frac{\pi}{6}$

Из стандартных значений:

$$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Шаг 2: Разбираем $\sin\frac{\pi}{4}$

Из стандартных значений:

$$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 3: Разбираем $\sin\frac{\pi}{3}$

Из стандартных значений:

$$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 4: Разбираем $\sin\frac{\pi}{2}$

Из стандартных значений:

$$\sin\frac{\pi}{2} = 1$$

Шаг 5: Подставляем все значения в выражение

Теперь подставим все вычисленные значения:

$$\sin\frac{\pi}{6} \cdot \sin\frac{\pi}{4} \cdot \sin\frac{\pi}{3} \cdot \sin\frac{\pi}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$$

Шаг 6: Умножаем числители и знаменатели

Умножим числители и знаменатели:

$$= \frac{1 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{8}$$

Ответ:

$$\frac{\sqrt{6}}{8}$$

Итоговые ответы:

а) $\frac{1}{2}(\sqrt{3} — \sqrt{2} + 1)$
б) $0$
в) $1$
г) $\frac{\sqrt{6}}{8}$