ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.40 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) 1, sin 1, cos 1, tg 1;

б) 2, sin 2, cos 2, ctg 2.

Расположить числа в порядке возрастания:

а) $1$; $\sin 1$; $\cos 1$; $\operatorname{tg} 1$;

Число 1 располагается в I четверти:

$$0 < 1 < \frac{\pi}{2};$$

$x > 0$ и $y > 0$;

Расстояние до точек максимума:

$$x_{\max} = |0 — 1| = 1;$$ $$y_{\max} = \left| \frac{\pi}{2} — 1 \right| \approx 0,57;$$

Сравним числа:

$$0 < \cos 1 < \sin 1 < 1;$$ $$\operatorname{tg} 1 = \frac{\sin 1}{\cos 1} > 1;$$

Ответ: $\cos 1$; $\sin 1$; $1$; $\operatorname{tg} 1$.

б) $2$; $\sin 2$; $\cos 2$; $\operatorname{ctg} 2$;

Число 2 располагается во II четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi;$$

$x < 0$ и $y > 0$;

Сравним числа:

$$\cos 2 < 0 < \sin 2 < 1 < 2;$$ $$|\operatorname{ctg} 2| = \left| \frac{\cos 2}{\sin 2} \right| > |\cos 2|;$$ $$\operatorname{ctg} 2 < \cos 2 \leqslant 0;$$

Ответ: $\operatorname{ctg} 2$; $\cos 2$; $\sin 2$; $2$.

а) $1$; $\sin 1$; $\cos 1$; $\operatorname{tg} 1$

1) Число $1$ располагается в I четверти:

• Число $1$ находится в пределах от 0 до $\frac{\pi}{2}$ радиан. Это видно из того, что $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$, так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, а $1 < 1.57$. Таким образом, $1$ радиан находится в первой четверти.
• В первой четверти тригонометрические функции $\sin t$ и $\cos t$ оба положительные. Поэтому:

  $$\sin 1 > 0 \quad \text{и} \quad \cos 1 > 0.$$

• Значение $\operatorname{tg} 1 = \frac{\sin 1}{\cos 1} > 0$, так как обе функции положительные.

2) Расстояние до точек максимума:

Для каждой из тригонометрических функций, нам нужно посчитать расстояние от угла $1$ радиан до максимума этой функции.

• Для $\cos 1$:
  • Максимум $\cos t$ достигается в точке $t = 0$ или $t = 2\pi$.
  • Расстояние от $t = 1$ до $t = 0$ (где $\cos t = 1$) равно:

  $$x_{\max} = |0 — 1| = 1.$$

• Для $\sin 1$:
  • Максимум $\sin t$ достигается в точке $t = \frac{\pi}{2}$.
  • Расстояние от $t = 1$ до $t = \frac{\pi}{2}$ (где $\sin t = 1$) равно:

  $$y_{\max} = \left| \frac{\pi}{2} — 1 \right| \approx 0,57.$$

3) Сравнение чисел:

Теперь мы сравним все числа. Рассмотрим каждое выражение:

1. $\cos 1$ — это значение косинуса в первой четверти, оно всегда меньше 1, так как $0 < \cos 1 < 1$.
2. $\sin 1$ — это значение синуса в первой четверти, оно больше $\cos 1$, так как синус увеличивается быстрее, чем косинус для углов в первой четверти.
3. Число $1$ — это просто единица, оно больше, чем и $\sin 1$, и $\cos 1$, так как $\sin 1$ и $\cos 1$ оба меньше 1, а $\sin 1$ меньше 1.
4. $\operatorname{tg} 1$ — это отношение синуса и косинуса, которое больше 1, так как $\operatorname{tg} 1 = \frac{\sin 1}{\cos 1} > 1$, поскольку синус увеличивается быстрее, чем косинус для углов в первой четверти.

На основании этого мы можем упорядочить числа:

$$0 < \cos 1 < \sin 1 < 1 < \operatorname{tg} 1.$$

Ответ для части (а):

$$\cos 1; \sin 1; 1; \operatorname{tg} 1.$$

б) $2$; $\sin 2$; $\cos 2$; $\operatorname{ctg} 2$

1) Число $2$ располагается во II четверти:

• Число $2$ радиана располагается в пределах $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$. То есть, число $2$ находится во второй четверти.
• В этой четверти косинус отрицателен, а синус положителен:

  $$\cos 2 < 0 \quad \text{и} \quad \sin 2 > 0.$$

• Котангенс $\operatorname{ctg} 2 = \frac{\cos 2}{\sin 2}$ в данной четверти отрицателен, так как числитель $\cos 2$ отрицателен, а знаменатель $\sin 2$ положителен:

  $$\operatorname{ctg} 2 < 0.$$

2) Сравнение чисел:

1. $\cos 2$ — отрицательное значение, так как $\cos 2 < 0$, но оно больше, чем $\operatorname{ctg} 2$, так как $\operatorname{ctg} 2$ отрицательно.
2. $\sin 2$ — положительное, но меньше 1, так как $0 < \sin 2 < 1$.
3. Число $2$ — наибольшее, так как оно больше, чем $\sin 2$ (и больше 1).

Для котангенса:

• Котангенс $\operatorname{ctg} 2 = \frac{\cos 2}{\sin 2}$, где $|\operatorname{ctg} 2| > |\cos 2|$. Однако поскольку $\operatorname{ctg} 2$ отрицателен, он меньше, чем $\cos 2$.
• Поскольку $\operatorname{ctg} 2$ отрицательно, то оно будет первым в порядке возрастания.

Таким образом, все числа располагаются в следующем порядке:

$$\operatorname{ctg} 2 < \cos 2 < \sin 2 < 2.$$

Ответ для части (б):

$$\operatorname{ctg} 2; \cos 2; \sin 2; 2.$$