ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.42 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\sqrt{\sin^2 1 + \sin^2 2 — 2 \sin 1 \cdot \sin 2} + \sqrt{\frac{1}{4} — \sin 1 + \sin^2 1} + \sqrt{1 + \sin^2 2 — 2 \sin 2} =$$ $$= \sqrt{(\sin 1 — \sin 2)^2} + \sqrt{\left(\frac{1}{2} — \sin 1\right)^2} + \sqrt{(1 — \sin 2)^2} =$$ $$= |\sin 1 — \sin 2| + \left|\frac{1}{2} — \sin 1\right| + |1 — \sin 2| =$$ $$= -(\sin 1 — \sin 2) — \left(\frac{1}{2} — \sin 1\right) + (1 — \sin 2) =$$ $$= -\sin 1 + \sin 2 — \frac{1}{2} + \sin 1 + 1 — \sin 2 = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2};$$

Преобразуем числа:

$$\frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6} \approx \sin 0,52;$$

Числа $0,52$ и $1$ принадлежат I четверти:

$$0 < 0,52 < 1 < \frac{\pi}{2};$$ $$\sin t > 0;$$

Число $2$ принадлежит II четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi;$$ $$\sin t > 0;$$

Расстояние до точек максимума:

$$y_1 = \left|\frac{\pi}{2} — 1\right| \approx 0,57;$$ $$y_2 = \left|\frac{\pi}{2} — 2\right| \approx 0,43;$$ $$y_3 = \left|\frac{\pi}{2} — 0,52\right| \approx 1,05;$$ $$\frac{1}{2} < \sin 1 < \sin 2 < 1;$$

Ответ: $0,5$.

б)

$$\sqrt{\cos^2 6 + \cos^2 7 — 2 \cos 6 \cdot \cos 7} + \sqrt{\frac{1}{4} — \cos 7 + \cos^2 7} + \sqrt{1 + \cos^2 6 — 2 \cos 6} =$$ $$= \sqrt{(\cos 6 — \cos 7)^2} + \sqrt{\left(\frac{1}{2} — \cos 7\right)^2} + \sqrt{(1 — \cos 6)^2} =$$ $$= |\cos 6 — \cos 7| + \left|\frac{1}{2} — \cos 7\right| + |1 — \cos 6| =$$ $$= (\cos 6 — \cos 7) — \left(\frac{1}{2} — \cos 7\right) + (1 — \cos 6) =$$ $$= \cos 6 — \cos 7 — \frac{1}{2} + \cos 7 + 1 — \cos 6 = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2};$$

Преобразуем числа:

$$\cos 7 = \cos(7 — 2\pi) \approx \cos 0,72;$$ $$\frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3} \approx \cos 1,04;$$

Числа $0,72$ и $1,04$ принадлежат I четверти:

$$0 < 0,72 < 1,04 < \frac{\pi}{2};$$ $$\cos t > 0;$$

Число $6$ принадлежит IV четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi;$$ $$\cos t > 0;$$

Расстояние до точек максимума:

$$x_1 = |2\pi — 6| \approx 0,28;$$ $$x_2 = |0 — 0,72| \approx 0,72;$$ $$x_3 = |0 — 1,04| \approx 1,04;$$ $$\frac{1}{2} < \cos 7 < \cos 6 < 1;$$

Ответ: $0,5$.

а)

$$\sqrt{\sin^2 1 + \sin^2 2 — 2 \sin 1 \cdot \sin 2} + \sqrt{\frac{1}{4} — \sin 1 + \sin^2 1} + \sqrt{1 + \sin^2 2 — 2 \sin 2}$$

1) Преобразуем выражение:

Начнем с преобразования каждого корня в более удобный вид. Для первого корня, используя формулу $\sin^2 a + \sin^2 b — 2 \sin a \cdot \sin b = (\sin a — \sin b)^2$, получаем:

$$\sqrt{\sin^2 1 + \sin^2 2 — 2 \sin 1 \cdot \sin 2} = \sqrt{(\sin 1 — \sin 2)^2} = |\sin 1 — \sin 2|$$

Для второго корня:

$$\sqrt{\frac{1}{4} — \sin 1 + \sin^2 1} = \sqrt{\left(\frac{1}{2} — \sin 1\right)^2} = \left|\frac{1}{2} — \sin 1\right|$$

Для третьего корня:

$$\sqrt{1 + \sin^2 2 — 2 \sin 2} = \sqrt{(1 — \sin 2)^2} = |1 — \sin 2|$$

Итак, наше выражение принимает вид:

$$|\sin 1 — \sin 2| + \left|\frac{1}{2} — \sin 1\right| + |1 — \sin 2|$$

2) Раскрытие абсолютных значений:

Теперь, давайте определить знаки выражений внутри абсолютных значений:

• $\sin 1$ и $\sin 2$ — это значения синусов углов, принадлежащих I и II четвертям, соответственно, так что:
  • $\sin 1 < \sin 2$, то есть $\sin 1 — \sin 2 < 0$, и следовательно $|\sin 1 — \sin 2| = -(\sin 1 — \sin 2)$.
• $\sin 1$ в I четверти (где синус положительный), так что $\frac{1}{2} — \sin 1 < 0$, то есть $|\frac{1}{2} — \sin 1| = \frac{1}{2} — \sin 1$.
• $\sin 2$ в II четверти (где синус тоже положительный), так что $1 — \sin 2 > 0$, и $|1 — \sin 2| = 1 — \sin 2$.

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$$-(\sin 1 — \sin 2) — \left(\frac{1}{2} — \sin 1\right) + (1 — \sin 2)$$

3) Упрощение:

Преобразуем это выражение:

$$— \sin 1 + \sin 2 — \frac{1}{2} + \sin 1 + 1 — \sin 2$$ $$= (- \sin 1 + \sin 1) + (\sin 2 — \sin 2) + 1 — \frac{1}{2}$$ $$= 0 + 0 + 1 — \frac{1}{2}$$ $$= 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

Ответ: 0,5

$$\frac{1}{2}$$

б)

$$\sqrt{\cos^2 6 + \cos^2 7 — 2 \cos 6 \cdot \cos 7} + \sqrt{\frac{1}{4} — \cos 7 + \cos^2 7} + \sqrt{1 + \cos^2 6 — 2 \cos 6}$$

1) Преобразуем выражение:

Аналогично первому примеру, начнем с преобразования каждого корня.

Для первого корня, используя формулу $\cos^2 a + \cos^2 b — 2 \cos a \cdot \cos b = (\cos a — \cos b)^2$, получаем:

$$\sqrt{\cos^2 6 + \cos^2 7 — 2 \cos 6 \cdot \cos 7} = \sqrt{(\cos 6 — \cos 7)^2} = |\cos 6 — \cos 7|$$

Для второго корня:

$$\sqrt{\frac{1}{4} — \cos 7 + \cos^2 7} = \sqrt{\left(\frac{1}{2} — \cos 7\right)^2} = \left|\frac{1}{2} — \cos 7\right|$$

Для третьего корня:

$$\sqrt{1 + \cos^2 6 — 2 \cos 6} = \sqrt{(1 — \cos 6)^2} = |1 — \cos 6|$$

Итак, наше выражение теперь выглядит так:

$$|\cos 6 — \cos 7| + \left|\frac{1}{2} — \cos 7\right| + |1 — \cos 6|$$

2) Раскрытие абсолютных значений:

Теперь определим знаки выражений внутри абсолютных значений:

• $\cos 6$ и $\cos 7$ — это значения косинусов углов, принадлежащих IV и I четвертям, соответственно. Так что:
  • $\cos 7 < \cos 6$, то есть $\cos 6 — \cos 7 > 0$, и следовательно $|\cos 6 — \cos 7| = \cos 6 — \cos 7$.
• $\cos 7$ в I четверти, так что $\frac{1}{2} — \cos 7 < 0$, то есть $|\frac{1}{2} — \cos 7| = \frac{1}{2} — \cos 7$.
• $\cos 6$ в IV четверти, так что $1 — \cos 6 > 0$, и $|1 — \cos 6| = 1 — \cos 6$.

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$$(\cos 6 — \cos 7) — \left(\frac{1}{2} — \cos 7\right) + (1 — \cos 6)$$

3) Упрощение:

Преобразуем это выражение:

$$\cos 6 — \cos 7 — \frac{1}{2} + \cos 7 + 1 — \cos 6$$ $$= (\cos 6 — \cos 6) + (- \cos 7 + \cos 7) + 1 — \frac{1}{2}$$ $$= 0 + 0 + 1 — \frac{1}{2}$$ $$= 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

Ответ: 0,5