ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.43 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\sqrt{\sin^2 5 — 2 \sin 5 \cdot \sin \frac{11\pi}{6} + \sin^2 \frac{11\pi}{6}} — \sqrt{\sin^2 \frac{5\pi}{6} — 2 \sin \frac{5\pi}{6} \cdot \sin 5 + \sin^2 5} =$$ $$= \sqrt{\left( \sin 5 — \sin \frac{11\pi}{6} \right)^2} — \sqrt{\left( \sin \frac{5\pi}{6} — \sin 5 \right)^2} =$$ $$= \left| \sin 5 — \sin \frac{11\pi}{6} \right| — \left| \sin \frac{5\pi}{6} — \sin 5 \right| = -\left( \sin 5 — \sin \frac{11\pi}{6} \right) — \left( \sin \frac{5\pi}{6} — \sin 5 \right) =$$ $$= -\sin 5 + \sin \frac{11\pi}{6} — \sin \frac{5\pi}{6} + \sin 5 = \sin \frac{11\pi}{6} — \sin \frac{5\pi}{6} = -\frac{1}{2} — \frac{1}{2} = -1;$$

Преобразуем числа:

$$\sin \frac{11\pi}{6} \approx \sin 5,75;$$ $$\sin \frac{5\pi}{6} \approx \sin 2,61;$$

Число $2,61$ принадлежит II четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 2,61 < \pi;$$ $$\sin t > 0;$$

Числа $5$ и $5,75$ принадлежат IV четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < 5 < 5,75 < 2\pi;$$ $$\sin t < 0;$$

Расстояние до точек максимума:

$$y_1 = |2\pi — 5| \approx 1,28;$$ $$y_2 = |2\pi — 5,75| \approx 0,53;$$ $$\sin 5 < \sin \frac{11\pi}{6} \leq \sin \frac{5\pi}{6};$$

Ответ: $-1$.

б)

$$\sqrt{\cos^2 4 — 2 \cos 4 \cdot \cos \frac{2\pi}{3} + \cos^2 \frac{2\pi}{3}} + \sqrt{\cos^2 4 — 2 \cos 4 \cdot \cos \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{3}} =$$ $$= \sqrt{\left( \cos 4 — \cos \frac{2\pi}{3} \right)^2} + \sqrt{\left( \cos 4 — \cos \frac{\pi}{3} \right)^2} = \left| \cos 4 — \cos \frac{2\pi}{3} \right| + \left| \cos 4 — \cos \frac{\pi}{3} \right| =$$ $$= -\left( \cos 4 — \cos \frac{2\pi}{3} \right) — \left( \cos 4 — \cos \frac{\pi}{3} \right) = -\cos 4 + \cos \frac{2\pi}{3} — \cos 4 + \cos \frac{\pi}{3} =$$ $$= -2 \cos 4 + \cos \left( -\frac{\pi}{3} + \pi \right) + \cos \frac{\pi}{3} = -2 \cos 4 — \cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) + \cos \frac{\pi}{3} =$$ $$= -2 \cos 4 — \cos \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{3} = -2 \cos 4;$$

Преобразуем числа:

$$\sin \frac{2\pi}{3} \approx \sin 2,09;$$ $$\sin \frac{\pi}{3} \approx \sin 1,04;$$

Число $1,04$ принадлежит I четверти:

$$0 < 1,04 < \frac{\pi}{2};$$ $$\cos t > 0;$$

Число $2,09$ принадлежит II четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 2,09 < \pi;$$ $$\cos t < 0;$$

Число $4$ принадлежит III четверти:

$$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2};$$ $$\cos t < 0;$$

Расстояние до точек максимума:

$$x_1 = |\pi — 4| \approx 0,86;$$ $$x_2 = \left| \frac{\pi}{2} — 2,09 \right| \approx 0,52;$$ $$\cos 4 < \cos \frac{2\pi}{3} \leq \cos \frac{\pi}{3};$$

Ответ: $-2 \cos 4$.

а)

$$\sqrt{\sin^2 5 — 2 \sin 5 \cdot \sin \frac{11\pi}{6} + \sin^2 \frac{11\pi}{6}} — \sqrt{\sin^2 \frac{5\pi}{6} — 2 \sin \frac{5\pi}{6} \cdot \sin 5 + \sin^2 5}$$

1) Преобразуем выражения

Прежде чем подставить числа и преобразовать их, мы можем заметить, что оба корня имеют форму разности квадратов, которую можно преобразовать в квадрат разности. Это упрощает вычисления.

Первый корень:

$$\sqrt{\sin^2 5 — 2 \sin 5 \cdot \sin \frac{11\pi}{6} + \sin^2 \frac{11\pi}{6}} = \sqrt{(\sin 5 — \sin \frac{11\pi}{6})^2}$$

Это выражение равно модулю разности:

$$|\sin 5 — \sin \frac{11\pi}{6}|$$

Второй корень:

$$\sqrt{\sin^2 \frac{5\pi}{6} — 2 \sin \frac{5\pi}{6} \cdot \sin 5 + \sin^2 5} = \sqrt{(\sin \frac{5\pi}{6} — \sin 5)^2}$$

Это выражение также равно модулю разности:

$$|\sin \frac{5\pi}{6} — \sin 5|$$

Теперь выражение можно переписать так:

$$|\sin 5 — \sin \frac{11\pi}{6}| — |\sin \frac{5\pi}{6} — \sin 5|$$

2) Раскрытие модулей

Теперь давайте определим знаки выражений внутри абсолютных величин, чтобы правильно раскрыть модули.

• $\sin 5$ и $\sin \frac{11\pi}{6}$ — это значения синусов углов, находящихся в IV и III четвертях, соответственно:
  • $\sin 5$ — отрицательное значение, так как угол $5$ радиан находится в IV четверти.
  • $\sin \frac{11\pi}{6}$ — положительное значение, так как угол $\frac{11\pi}{6}$ в III четверти.
  • Следовательно, $\sin 5 — \sin \frac{11\pi}{6} < 0$, и:

    $$|\sin 5 — \sin \frac{11\pi}{6}| = -(\sin 5 — \sin \frac{11\pi}{6}) = \sin \frac{11\pi}{6} — \sin 5$$

• $\sin \frac{5\pi}{6}$ и $\sin 5$ — это значения синусов углов, находящихся в II и IV четвертях, соответственно:
  • $\sin \frac{5\pi}{6}$ — положительное значение, так как угол $\frac{5\pi}{6}$ находится в II четверти.
  • $\sin 5$ — отрицательное значение, как уже упомянуто выше.
  • Следовательно, $\sin \frac{5\pi}{6} — \sin 5 > 0$, и:

    $$|\sin \frac{5\pi}{6} — \sin 5| = \sin \frac{5\pi}{6} — \sin 5$$

Таким образом, выражение принимает вид:

$$\sin \frac{11\pi}{6} — \sin 5 — \left( \sin \frac{5\pi}{6} — \sin 5 \right)$$

3) Упрощение:

Теперь упростим это выражение:

$$\sin \frac{11\pi}{6} — \sin 5 — \sin \frac{5\pi}{6} + \sin 5$$

Складываем одинаковые элементы:

$$(\sin 5 — \sin 5) = 0$$

Итак, мы получаем:

$$\sin \frac{11\pi}{6} — \sin \frac{5\pi}{6}$$

4) Вычисления:

Мы знаем, что:

$$\sin \frac{11\pi}{6} = -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Таким образом:

$$\sin \frac{11\pi}{6} — \sin \frac{5\pi}{6} = -\frac{1}{2} — \frac{1}{2} = -1$$

Ответ для части (а):

$$-1$$

б)

$$\sqrt{\cos^2 4 — 2 \cos 4 \cdot \cos \frac{2\pi}{3} + \cos^2 \frac{2\pi}{3}} + \sqrt{\cos^2 4 — 2 \cos 4 \cdot \cos \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{3}}$$

1) Преобразуем выражения

Как и в первой части задачи, начнем с преобразования каждого из корней:

Первый корень:

$$\sqrt{\cos^2 4 — 2 \cos 4 \cdot \cos \frac{2\pi}{3} + \cos^2 \frac{2\pi}{3}} = \sqrt{(\cos 4 — \cos \frac{2\pi}{3})^2} = |\cos 4 — \cos \frac{2\pi}{3}|$$

Второй корень:

$$\sqrt{\cos^2 4 — 2 \cos 4 \cdot \cos \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{3}} = \sqrt{(\cos 4 — \cos \frac{\pi}{3})^2} = |\cos 4 — \cos \frac{\pi}{3}|$$

Теперь выражение принимает вид:

$$|\cos 4 — \cos \frac{2\pi}{3}| + |\cos 4 — \cos \frac{\pi}{3}|$$

2) Раскрытие модулей

Теперь давайте определим знаки выражений внутри абсолютных величин, чтобы раскрыть модули.

• $\cos 4$ находится в III четверти, то есть $\cos 4 < 0$.
• $\cos \frac{2\pi}{3}$ — это значение косинуса угла в II четверти, то есть $\cos \frac{2\pi}{3} < 0$.
• $\cos \frac{\pi}{3}$ — это значение косинуса угла в I четверти, то есть $\cos \frac{\pi}{3} > 0$.

Таким образом:

• $\cos 4 — \cos \frac{2\pi}{3} < 0$, и:

  $$|\cos 4 — \cos \frac{2\pi}{3}| = -(\cos 4 — \cos \frac{2\pi}{3}) = \cos \frac{2\pi}{3} — \cos 4$$

• $\cos 4 — \cos \frac{\pi}{3} < 0$, и:

  $$|\cos 4 — \cos \frac{\pi}{3}| = -(\cos 4 — \cos \frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{3} — \cos 4$$

Теперь подставим эти выражения в исходное:

$$\cos \frac{2\pi}{3} — \cos 4 + \cos \frac{\pi}{3} — \cos 4$$

3) Упрощение:

Преобразуем выражение:

$$(\cos \frac{2\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{3}) — 2 \cos 4$$

Заменим значения косинусов:

• $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$
• $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

Подставим эти значения:

$$\left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) — 2 \cos 4 = 0 — 2 \cos 4$$

Таким образом, получаем:

$$-2 \cos 4$$

Ответ для части (б):

$$-2 \cos 4$$$-2 \cos 4$