ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.47 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\cos t>-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

Дуга ограничена точками:
$M_1(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2})=M_1\left(\frac{7\pi }{6}\right)=M_1(-\frac{5\pi }{6});$
$M_2(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2})=M_2\left(\frac{5\pi }{6}\right);$

Ответ:
$-\frac{5\pi }{6}+2\pi n<t<\frac{5\pi }{6}+2\pi n\mathrm{.}$

б) $\cos t<-\frac{1}{2}$;

Дуга ограничена точками:
$M_1(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})=M_1\left(\frac{2\pi }{3}\right);$
$M_2(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})=M_2\left(\frac{4\pi }{3}\right);$

Ответ:
$\frac{2\pi }{3}+2\pi n<t<\frac{4\pi }{3}+2\pi n\mathrm{.}$

в) $\cos t<-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

Дуга ограничена точками:
$M_1(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2})=M_1\left(\frac{5\pi }{6}\right);$
$M_2(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2})=M_2\left(\frac{7\pi }{6}\right);$

Ответ:
$\frac{5\pi }{6}+2\pi n<t<\frac{7\pi }{6}+2\pi n\mathrm{.}$

г) $\cos t>-\frac{1}{2}$;

Дуга ограничена точками:
$M_1(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})=M_1\left(\frac{4\pi }{3}\right)=M_1(-\frac{2\pi }{3});$
$M_2(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})=M_2\left(\frac{2\pi }{3}\right);$

Ответ:
$-\frac{2\pi }{3}+2\pi n<t<\frac{2\pi }{3}+2\pi n\mathrm{.}$

а) $\cos t>-\frac{\sqrt{3}}{2}$

1. Общая информация:

Значение $\cos t=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ достигается в двух точках на единичной окружности. Косинус угла равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ в точках, где углы $t$ равны $\frac{5\pi }{6}$ и $\frac{7\pi }{6}$. Эти углы находятся в левой половине окружности, в первой и второй четверти.

2. Определение точек, при которых $\cos t=-\frac{\sqrt{3}}{2}$:

Пусть $t_1=\frac{5\pi }{6}$ и $t_2=\frac{7\pi }{6}$. Это будут точки, где косинус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Геометрический смысл:

Косинус угла $t$ представляет проекцию точки, соответствующей углу $t$, на ось $x$ единичной окружности. Когда косинус больше $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, точка лежит в пределах углов от $-\frac{5\pi }{6}$ до $\frac{5\pi }{6}$.

4. Решение:

Неравенство $\cos t>-\frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется на интервале от $-\frac{5\pi }{6}$ до $\frac{5\pi }{6}$, так как в этих точках косинус меньше $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, и за пределами этих интервалов косинус снова меньше этого значения.

Ответ:

$$-\frac{5\pi }{6}+2\pi n<t<\frac{5\pi }{6}+2\pi n\mathrm{.}$$

б) $\cos t<-\frac{1}{2}$

1. Общая информация:

Значение $\cos t=-\frac{1}{2}$ достигается для углов $t=\frac{2\pi }{3}$ и $t=\frac{4\pi }{3}$, которые находятся в левой половине окружности, в третьем и четвертом квадрантах.

2. Определение точек, при которых $\cos t=-\frac{1}{2}$:

Пусть $t_1=\frac{2\pi }{3}$ и $t_2=\frac{4\pi }{3}$ — это точки, в которых косинус равен $-\frac{1}{2}$.

3. Геометрический смысл:

Неравенство $\cos t<-\frac{1}{2}$ означает, что точка, соответствующая углу $t$, лежит в тех областях окружности, где проекция на ось $x$ меньше $-\frac{1}{2}$, то есть в интервалах, между углами $\frac{2\pi }{3}$ и $\frac{4\pi }{3}$.

4. Решение:

Неравенство $\cos t<-\frac{1}{2}$ выполняется на интервале от $\frac{2\pi }{3}$ до $\frac{4\pi }{3}$, и эти интервалы повторяются через $2\pi$ для всех целых $n$.

Ответ:

$$\frac{2\pi }{3}+2\pi n<t<\frac{4\pi }{3}+2\pi n\mathrm{.}$$

в) $\cos t<-\frac{\sqrt{3}}{2}$

1. Общая информация:

Значение $\cos t=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ достигается для углов $t=\frac{5\pi }{6}$ и $t=\frac{7\pi }{6}$, которые находятся в левой половине окружности, в первой и второй четверти.

2. Определение точек, при которых $\cos t=-\frac{\sqrt{3}}{2}$:

Пусть $t_1=\frac{5\pi }{6}$ и $t_2=\frac{7\pi }{6}$ — это точки, в которых косинус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Геометрический смысл:

Неравенство $\cos t<-\frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется в интервале между углами $\frac{5\pi }{6}$ и $\frac{7\pi }{6}$. Это соответствует области окружности, где проекция на ось $x$ меньше $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Решение:

Неравенство $\cos t<-\frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется на интервале от $\frac{5\pi }{6}$ до $\frac{7\pi }{6}$, и эти интервалы повторяются через $2\pi$ для всех целых $n$.

Ответ:

$$\frac{5\pi }{6}+2\pi n<t<\frac{7\pi }{6}+2\pi n\mathrm{.}$$

г) $\cos t>-\frac{1}{2}$

1. Общая информация:

Значение $\cos t=-\frac{1}{2}$ достигается для углов $t=\frac{2\pi }{3}$ и $t=\frac{4\pi }{3}$, которые находятся в левой половине окружности, в третьем и четвертом квадрантах.

2. Определение точек, при которых $\cos t=-\frac{1}{2}$:

Пусть $t_1=\frac{2\pi }{3}$ и $t_2=\frac{4\pi }{3}$ — это точки, в которых косинус равен $-\frac{1}{2}$.

3. Геометрический смысл:

Неравенство $\cos t>-\frac{1}{2}$ означает, что точка, соответствующая углу $t$, лежит в тех областях окружности, где проекция на ось $x$ больше $-\frac{1}{2}$, то есть в интервалах между углами $-\frac{2\pi }{3}$ и $\frac{2\pi }{3}$.

4. Решение:

Неравенство $\cos t>-\frac{1}{2}$ выполняется на интервале от $-\frac{2\pi }{3}$ до $\frac{2\pi }{3}$, и эти интервалы повторяются через $2\pi$ для всех целых $n$.

Ответ:

$$-\frac{2\pi }{3}+2\pi n<t<\frac{2\pi }{3}+2\pi n\mathrm{.}$$