ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.52 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Доказать неравенство:

а) $\sin t < \operatorname{tg} t$, если $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

На данном интервале функции принимают значения:

$$0 < \cos t < 1;$$ $$0 < \sin t < 1;$$

Допустим, что неравенство неверно, тогда:

$$\sin t \geq \operatorname{tg} t;$$ $$\sin t \geq \frac{\sin t}{\cos t};$$ $$\sin t \cdot \cos t \geq \sin t;$$ $$\cos t \geq 1;$$

Возникло противоречие, значит данное неравенство верно, что и требовалось доказать.

б) $\cos t < \operatorname{ctg} t$, если $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

На данном интервале функции принимают значения:

$$0 < \cos t < 1;$$ $$0 < \sin t < 1;$$

Допустим, что неравенство неверно, тогда:

$$\cos t \geq \operatorname{ctg} t;$$ $$\cos t \geq \frac{\cos t}{\sin t};$$ $$\cos t \cdot \sin t \geq \cos t;$$ $$\sin t \geq 1;$$

Возникло противоречие, значит данное неравенство верно, что и требовалось доказать.

а) Доказательство неравенства $\sin t < \operatorname{tg} t$, если $0 < t < \frac{\pi}{2}$

1. Общие сведения о функциях на интервале:

На интервале $0 < t < \frac{\pi}{2}$ значения тригонометрических функций таковы:

• $0 < \cos t < 1$ (косинус положителен и строго меньше 1),
• $0 < \sin t < 1$ (синус положителен и строго меньше 1),
• $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$ — тангенс положителен, так как синус и косинус положительны на этом интервале.

2. Предположим, что неравенство неверно:

Теперь, допустим, что неравенство неверно, то есть:

$$\sin t \geq \operatorname{tg} t.$$

Подставим выражение для тангенса:

$$\sin t \geq \frac{\sin t}{\cos t}.$$

3. Умножим обе части на $\cos t$:

Так как $\cos t > 0$ на данном интервале, можем умножить обе части неравенства на $\cos t$, не меняя знака неравенства:

$$\sin t \cdot \cos t \geq \sin t.$$

4. Переносим $\sin t$ влево:

Теперь перенесем $\sin t$ влево:

$$\sin t \cdot \cos t — \sin t \geq 0.$$

5. Вынесем $\sin t$ за скобки:

Вынесем $\sin t$ за скобки:

$$\sin t (\cos t — 1) \geq 0.$$

6. Анализ выражения:

• $\sin t > 0$ на интервале $0 < t < \frac{\pi}{2}$, так что $\sin t > 0$.
• $\cos t — 1$ всегда отрицательно на этом интервале, потому что $0 < \cos t < 1$, следовательно, $\cos t — 1 < 0$.

Таким образом, выражение $\sin t (\cos t — 1)$ всегда отрицательно, что приводит к противоречию с неравенством $\sin t (\cos t — 1) \geq 0$.

7. Заключение:

Так как предположение, что неравенство неверно, приводит к противоречию, оно должно быть ложным. Следовательно, исходное неравенство верно:

$$\sin t < \operatorname{tg} t \quad \text{для} \quad 0 < t < \frac{\pi}{2}.$$

б) Доказательство неравенства $\cos t < \operatorname{ctg} t$, если $0 < t < \frac{\pi}{2}$

1. Общие сведения о функциях на интервале:

На интервале $0 < t < \frac{\pi}{2}$ функции имеют следующие значения:

• $0 < \cos t < 1$ (косинус положителен и строго меньше 1),
• $0 < \sin t < 1$ (синус положителен и строго меньше 1),
• $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$ — котангенс положителен на этом интервале.

2. Предположим, что неравенство неверно:

Предположим, что неравенство неверно, то есть:

$$\cos t \geq \operatorname{ctg} t.$$

Подставим выражение для котангенса:

$$\cos t \geq \frac{\cos t}{\sin t}.$$

3. Умножим обе части на $\sin t$:

Так как $\sin t > 0$ на интервале $0 < t < \frac{\pi}{2}$, можем умножить обе части на $\sin t$, не меняя знака неравенства:

$$\cos t \cdot \sin t \geq \cos t.$$

4. Переносим $\cos t$ влево:

Теперь перенесем $\cos t$ влево:

$$\cos t \cdot \sin t — \cos t \geq 0.$$

5. Вынесем $\cos t$ за скобки:

Вынесем $\cos t$ за скобки:

$$\cos t (\sin t — 1) \geq 0.$$

6. Анализ выражения:

• $\cos t > 0$ на интервале $0 < t < \frac{\pi}{2}$.
• $\sin t — 1$ всегда отрицательно на этом интервале, потому что $0 < \sin t < 1$, следовательно, $\sin t — 1 < 0$.

Таким образом, выражение $\cos t (\sin t — 1)$ всегда отрицательно, что приводит к противоречию с неравенством $\cos t (\sin t — 1) \geq 0$.

7. Заключение:

Так как предположение, что неравенство неверно, приводит к противоречию, оно должно быть ложным. Следовательно, исходное неравенство верно:

$$\cos t < \operatorname{ctg} t \quad \text{для} \quad 0 < t < \frac{\pi}{2}.$$

Итог:

а) $\sin t < \operatorname{tg} t$, если $0 < t < \frac{\pi}{2}$: доказано через противоречие.

б) $\cos t < \operatorname{ctg} t$, если $0 < t < \frac{\pi}{2}$: доказано через противоречие.