ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\cos 1 + \cos(1 + \pi) + \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) =$

$$= \cos 1 — \cos(1) — \sin \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{6} = 0 — \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0;$$

Ответ: $0$.

б) $\sin 2 + \sin(2 + \pi) + \cos^2\left(-\frac{\pi}{12}\right) + \sin^2 \frac{\pi}{12} =$

$$= \sin 2 + \sin 2 + \left(\cos^2 \frac{\pi}{12} + \sin^2 \frac{\pi}{12}\right) = 0 + 1 = 1;$$

Ответ: $1$.

а) $\cos 1 + \cos(1 + \pi) + \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)$

Шаг 1: Разбираем $\cos 1$

Это выражение уже в стандартной форме, его мы просто оставляем:

$$\cos 1$$

Шаг 2: Разбираем $\cos(1 + \pi)$

Мы знаем, что косинус имеет периодичность $2\pi$, и также, что $\cos(x + \pi) = -\cos(x)$. Таким образом:

$$\cos(1 + \pi) = -\cos 1$$

Шаг 3: Разбираем $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$

Используем свойство синуса, что $\sin(-x) = -\sin(x)$. Таким образом:

$$\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\frac{\pi}{3}$$

Из стандартных значений:

$$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Следовательно:

$$\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 4: Разбираем $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)$

Используем свойство косинуса, что $\cos(-x) = \cos(x)$. Таким образом:

$$\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{6}$$

Из стандартных значений:

$$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 5: Подставляем все значения

Теперь подставим все вычисленные значения в исходное выражение:

$$\cos 1 + \cos(1 + \pi) + \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)$$ $$= \cos 1 — \cos 1 — \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 6: Упрощаем выражение

$$= 0 — \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$$

Ответ:

$$0$$

б) $\sin 2 + \sin(2 + \pi) + \cos^2\left(-\frac{\pi}{12}\right) + \sin^2 \frac{\pi}{12}$

Шаг 1: Разбираем $\sin 2$

Это выражение уже в стандартной форме, его мы просто оставляем:

$$\sin 2$$

Шаг 2: Разбираем $\sin(2 + \pi)$

Мы знаем, что $\sin(x + \pi) = -\sin(x)$. Таким образом:

$$\sin(2 + \pi) = -\sin 2$$

Шаг 3: Разбираем $\cos^2\left(-\frac{\pi}{12}\right)$

Используем свойство косинуса, что $\cos(-x) = \cos(x)$. Таким образом:

$$\cos^2\left(-\frac{\pi}{12}\right) = \cos^2\frac{\pi}{12}$$

Шаг 4: Разбираем $\sin^2 \frac{\pi}{12}$

Это уже стандартное выражение, просто оставляем его как есть:

$$\sin^2 \frac{\pi}{12}$$

Шаг 5: Используем тригонометрическую идентичность

Теперь используем тригонометрическую идентичность $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, которая применима для любого угла. Таким образом:

$$\cos^2\frac{\pi}{12} + \sin^2\frac{\pi}{12} = 1$$

Шаг 6: Подставляем все значения

Теперь подставим все значения в исходное выражение:

$$\sin 2 + \sin(2 + \pi) + \cos^2\left(-\frac{\pi}{12}\right) + \sin^2 \frac{\pi}{12}$$ $$= \sin 2 — \sin 2 + 1$$

Шаг 7: Упрощаем выражение

$$= 0 + 1 = 1$$

Ответ:

$$1$$

Итоговые ответы:

а) $0$
б) $1$