ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $1 + \sin t = \frac{\cos t + \operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t}$;

б) $\frac{\sin t + \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t} = 1 + \cos t$;

в) $\frac{1 — \sin t}{\cos t} = \frac{\cos t}{1 + \sin t}$;

г) $\frac{\sin t}{1 — \cos t} = \frac{1 + \cos t}{\sin t}$

Доказать тождество:

а) $1 + \sin t = \frac{\cos t + \operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t}$;

Преобразуем правую часть равенства:

$$\frac{\cos t + \operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t} = \frac{\cos t + \frac{\cos t}{\sin t}}{\frac{\cos t}{\sin t}} = \frac{\sin t \cdot \cos t + \cos t}{\sin t} : \frac{\cos t}{\sin t} =$$ $$= \frac{\cos t \cdot (\sin t + 1) \cdot \sin t}{\sin t} \cdot \frac{\sin t}{\cos t} = \sin t + 1;$$

Тождество доказано.

б) $\frac{\sin t + \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t} = 1 + \cos t$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\frac{\sin t + \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t} = \frac{\sin t + \frac{\sin t}{\cos t}}{\frac{\sin t}{\cos t}} = \frac{\sin t \cdot \cos t + \sin t}{\cos t} : \frac{\sin t}{\cos t} =$$ $$= \frac{\sin t \cdot (\cos t + 1) \cdot \cos t}{\cos t} \cdot \frac{\cos t}{\sin t} = \cos t + 1;$$

Тождество доказано.

в) $\frac{1 — \sin t}{\cos t} = \frac{\cos t}{1 + \sin t}$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\frac{1 — \sin t}{\cos t} = \frac{(1 — \sin t)(1 + \sin t)}{\cos t \cdot (1 + \sin t)} = \frac{1 — \sin^2 t}{\cos t \cdot (1 + \sin t)} =$$ $$= \frac{\cos^2 t}{\cos t \cdot (1 + \sin t)} = \frac{\cos t}{1 + \sin t};$$

Тождество доказано.

г) $\frac{\sin t}{1 — \cos t} = \frac{1 + \cos t}{\sin t}$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\frac{\sin t}{1 — \cos t} = \frac{\sin t \cdot (1 + \cos t)}{(1 — \cos t)(1 + \cos t)} = \frac{\sin t \cdot (1 + \cos t)}{1 — \cos^2 t} =$$ $$= \frac{\sin t \cdot (1 + \cos t)}{\sin^2 t} = \frac{1 + \cos t}{\sin t};$$

Тождество доказано.

а) Доказать, что

$$1 + \sin t = \frac{\cos t + \operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t}$$

Шаг 1: Распишем $\operatorname{ctg} t$

$$\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$$

Шаг 2: Подставим в правую часть выражения

$$\frac{\cos t + \operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t} = \frac{\cos t + \frac{\cos t}{\sin t}}{\frac{\cos t}{\sin t}}$$

Шаг 3: Приведем числитель к общему знаменателю

$$\cos t + \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\cos t \cdot \sin t}{\sin t} + \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\cos t(\sin t + 1)}{\sin t}$$

Шаг 4: Заменим числитель и знаменатель:

$$\frac{\frac{\cos t(\sin t + 1)}{\sin t}}{\frac{\cos t}{\sin t}} = \left(\frac{\cos t(\sin t + 1)}{\sin t}\right) \div \left(\frac{\cos t}{\sin t}\right)$$

Шаг 5: Деление дробей = умножение на обратную

$$= \frac{\cos t(\sin t + 1)}{\sin t} \cdot \frac{\sin t}{\cos t}$$

Шаг 6: Сократим $\cos t$ и $\sin t$

$$= (\sin t + 1)$$

Ответ:

$$\boxed{1 + \sin t = 1 + \sin t} \quad \Rightarrow \text{тождество доказано.}$$

б) Доказать, что

$$\frac{\sin t + \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t} = 1 + \cos t$$

Шаг 1: Распишем $\operatorname{tg} t$

$$\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$$

Шаг 2: Подставим в выражение

$$\frac{\sin t + \frac{\sin t}{\cos t}}{\frac{\sin t}{\cos t}}$$

Шаг 3: Приводим числитель к общему знаменателю

$$\sin t + \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\sin t \cdot \cos t}{\cos t} + \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\sin t (\cos t + 1)}{\cos t}$$

Шаг 4: Деление дробей:

$$\frac{\frac{\sin t (\cos t + 1)}{\cos t}}{\frac{\sin t}{\cos t}} = \left(\frac{\sin t (\cos t + 1)}{\cos t}\right) \cdot \left(\frac{\cos t}{\sin t}\right)$$

Шаг 5: Сокращаем $\sin t$ и $\cos t$

$$= (\cos t + 1)$$

Ответ:

$$\boxed{1 + \cos t = 1 + \cos t} \quad \Rightarrow \text{тождество доказано.}$$

в) Доказать, что

$$\frac{1 — \sin t}{\cos t} = \frac{\cos t}{1 + \sin t}$$

Шаг 1: Домножим числитель и знаменатель левой дроби на сопряжённое выражение $1 + \sin t$

$$\frac{1 — \sin t}{\cos t} = \frac{(1 — \sin t)(1 + \sin t)}{\cos t(1 + \sin t)}$$

Шаг 2: Применим формулу разности квадратов:

$$(1 — \sin t)(1 + \sin t) = 1 — \sin^2 t$$

Шаг 3: Используем основное тригонометрическое тождество:

$$1 — \sin^2 t = \cos^2 t$$

Подставим обратно:

$$\frac{\cos^2 t}{\cos t(1 + \sin t)} = \frac{\cos t}{1 + \sin t}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1 — \sin t}{\cos t} = \frac{\cos t}{1 + \sin t}} \quad \Rightarrow \text{тождество доказано.}$$

г) Доказать, что

$$\frac{\sin t}{1 — \cos t} = \frac{1 + \cos t}{\sin t}$$

Шаг 1: Домножим числитель и знаменатель левой дроби на сопряжённое выражение $1 + \cos t$

$$\frac{\sin t}{1 — \cos t} = \frac{\sin t (1 + \cos t)}{(1 — \cos t)(1 + \cos t)}$$

Шаг 2: В знаменателе снова разность квадратов:

$$(1 — \cos t)(1 + \cos t) = 1 — \cos^2 t = \sin^2 t$$

Шаг 3: Подставим обратно:

$$\frac{\sin t (1 + \cos t)}{\sin^2 t}$$

Шаг 4: Сократим $\sin t$:

$$= \frac{1 + \cos t}{\sin t}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\sin t}{1 — \cos t} = \frac{1 + \cos t}{\sin t}} \quad \Rightarrow \text{тождество доказано.}$$