ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Доказать тождество:

а) $\frac{(\sin t + \cos t)^2 — 1}{\operatorname{ctg} t — \sin t \cdot \cos t} = 2 \operatorname{tg}^2 t$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\frac{(\sin t + \cos t)^2 — 1}{\operatorname{ctg} t — \sin t \cdot \cos t} = \frac{(\sin^2 t + \cos^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t) — (\sin^2 t + \cos^2 t)}{\frac{\cos t}{\sin t} — \sin t \cdot \cos t} =$$ $$= 2 \sin t \cdot \cos t : \frac{\cos t — \sin^2 t \cdot \cos t}{\sin t} = \frac{2 \sin^2 t \cdot \cos t}{\cos t \cdot (1 — \sin^2 t)} = \frac{2 \sin^2 t}{1 — \sin^2 t} =$$ $$= \frac{2 \sin^2 t}{\cos^2 t} = 2 \operatorname{tg}^2 t;$$

Тождество доказано.

б) $\sin^3 t \cdot (1 + \operatorname{ctg} t) + \cos^3 t \cdot (1 + \operatorname{tg} t) = \sin t + \cos t$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\sin^3 t \cdot (1 + \operatorname{ctg} t) + \cos^3 t \cdot (1 + \operatorname{tg} t) =$$ $$= \sin^3 t \cdot \left(1 + \frac{\cos t}{\sin t}\right) + \cos^3 t \cdot \left(1 + \frac{\sin t}{\cos t}\right) =$$ $$= \sin^3 t \cdot \frac{\sin t + \cos t}{\sin t} + \cos^3 t \cdot \frac{\cos t + \sin t}{\cos t} =$$ $$= \sin^2 t \cdot (\sin t + \cos t) + \cos^2 t \cdot (\cos t + \sin t) =$$ $$= (\sin t + \cos t)(\sin^2 t + \cos^2 t) = \sin t + \cos t;$$

Тождество доказано.

в) $\frac{(\sin t + \cos t)^2 — 1}{\operatorname{tg} t — \sin t \cdot \cos t} = 2 \operatorname{ctg}^2 t$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\frac{(\sin t + \cos t)^2 — 1}{\operatorname{tg} t — \sin t \cdot \cos t} = \frac{(\sin^2 t + \cos^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t) — (\sin^2 t + \cos^2 t)}{\frac{\sin t}{\cos t} — \sin t \cdot \cos t} =$$ $$= 2 \sin t \cdot \cos t : \frac{\sin t — \sin t \cdot \cos^2 t}{\cos t} = \frac{2 \sin t \cdot \cos^2 t}{\sin t \cdot (1 — \cos^2 t)} = \frac{2 \cos^2 t}{1 — \cos^2 t} =$$ $$= \frac{2 \cos^2 t}{\sin^2 t} = 2 \operatorname{ctg}^2 t;$$

Тождество доказано.

г) $\frac{1 — 4 \sin^2 t \cdot \cos^2 t}{(\sin t + \cos t)^2} + 2 \sin t \cdot \cos t = 1$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\frac{1 — 4 \sin^2 t \cdot \cos^2 t}{(\sin t + \cos t)^2} + 2 \sin t \cdot \cos t =$$ $$= \frac{1 — 4 \sin^2 t \cdot \cos^2 t}{\sin^2 t + \cos^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t} + 2 \sin t \cdot \cos t =$$ $$= \frac{(1 — 2 \sin t \cdot \cos t)(1 + 2 \sin t \cdot \cos t)}{1 + 2 \sin t \cdot \cos t} + 2 \sin t \cdot \cos t =$$ $$= (1 — 2 \sin t \cdot \cos t) + 2 \sin t \cdot \cos t = 1;$$

Тождество доказано.

а) Доказать, что

$$\frac{(\sin t + \cos t)^2 — 1}{\operatorname{ctg} t — \sin t \cdot \cos t} = 2 \operatorname{tg}^2 t$$

Левая часть:

$$\frac{(\sin t + \cos t)^2 — 1}{\operatorname{ctg} t — \sin t \cdot \cos t}$$

Шаг 1: Раскроем квадрат суммы в числителе:

$$(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2\sin t \cos t + \cos^2 t$$

Шаг 2: Вычтем 1:

$$\sin^2 t + \cos^2 t + 2\sin t \cos t — 1$$

Шаг 3: По основному тригонометрическому тождеству:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1 \Rightarrow 1 + 2\sin t \cos t — 1 = 2\sin t \cos t$$

Итак, числитель равен:

$$2\sin t \cos t$$

Шаг 4: Преобразуем знаменатель:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} \Rightarrow \operatorname{ctg} t — \sin t \cos t = \frac{\cos t}{\sin t} — \sin t \cos t$$

Шаг 5: Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{\cos t — \sin^2 t \cos t}{\sin t} = \frac{\cos t(1 — \sin^2 t)}{\sin t}$$

Шаг 6: Используем тождество:

$$1 — \sin^2 t = \cos^2 t \Rightarrow \frac{\cos t \cdot \cos^2 t}{\sin t} = \frac{\cos^3 t}{\sin t}$$

Теперь вся левая часть:

$$\frac{2\sin t \cos t}{\frac{\cos^3 t}{\sin t}} = 2\sin t \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos^3 t} = \frac{2 \sin^2 t}{\cos^2 t}$$

Шаг 7: Узнаём:

$$\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \operatorname{tg}^2 t \Rightarrow \boxed{2 \operatorname{tg}^2 t}$$

Тождество доказано.

б) Доказать, что

$$\sin^3 t(1 + \operatorname{ctg} t) + \cos^3 t(1 + \operatorname{tg} t) = \sin t + \cos t$$

Шаг 1: Раскроем скобки через определения:

$$1 + \operatorname{ctg} t = 1 + \frac{\cos t}{\sin t}, \quad 1 + \operatorname{tg} t = 1 + \frac{\sin t}{\cos t}$$

Левая часть:

$$\sin^3 t \left(1 + \frac{\cos t}{\sin t}\right) + \cos^3 t \left(1 + \frac{\sin t}{\cos t}\right)$$

Шаг 2: Сократим:

$$= \sin^3 t \cdot \frac{\sin t + \cos t}{\sin t} + \cos^3 t \cdot \frac{\cos t + \sin t}{\cos t}$$

Шаг 3: Упростим каждое слагаемое:

1-е:

$$\frac{\sin^3 t (\sin t + \cos t)}{\sin t} = \sin^2 t (\sin t + \cos t)$$

2-е:

$$\frac{\cos^3 t (\cos t + \sin t)}{\cos t} = \cos^2 t (\cos t + \sin t)$$

Шаг 4: Вынесем $(\sin t + \cos t)$ за скобку:

$$\sin^2 t (\sin t + \cos t) + \cos^2 t (\sin t + \cos t) = (\sin^2 t + \cos^2 t)(\sin t + \cos t)$$

Шаг 5: Используем тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1 \Rightarrow 1 \cdot (\sin t + \cos t)$$

Ответ:

$$\boxed{\sin t + \cos t} \Rightarrow \text{тождество доказано.}$$

в) Доказать, что

$$\frac{(\sin t + \cos t)^2 — 1}{\operatorname{tg} t — \sin t \cdot \cos t} = 2 \operatorname{ctg}^2 t$$

Числитель:

Как и ранее:

$$(\sin t + \cos t)^2 — 1 = 1 + 2\sin t \cos t — 1 = 2\sin t \cos t$$

Знаменатель:

$$\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} \Rightarrow \frac{\sin t}{\cos t} — \sin t \cos t$$

Приводим к общему знаменателю:

$$= \frac{\sin t — \sin t \cos^2 t}{\cos t} = \frac{\sin t(1 — \cos^2 t)}{\cos t}$$

Используем тождество:

$$1 — \cos^2 t = \sin^2 t \Rightarrow \frac{\sin t \cdot \sin^2 t}{\cos t} = \frac{\sin^3 t}{\cos t}$$

Левая часть:

$$\frac{2 \sin t \cos t}{\frac{\sin^3 t}{\cos t}} = 2 \sin t \cos t \cdot \frac{\cos t}{\sin^3 t} = \frac{2 \cos^2 t}{\sin^2 t}$$

Замечаем:

$$\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \operatorname{ctg}^2 t \Rightarrow \boxed{2 \operatorname{ctg}^2 t}$$

Тождество доказано.

г) Доказать, что

$$\frac{1 — 4 \sin^2 t \cos^2 t}{(\sin t + \cos t)^2} + 2 \sin t \cos t = 1$$

Шаг 1: Раскроем знаменатель:

$$(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t = 1 + 2 \sin t \cos t$$

Числитель:

$$1 — 4 \sin^2 t \cos^2 t = (1 — 2 \sin t \cos t)(1 + 2 \sin t \cos t)$$

(по формуле разности квадратов)

Левая часть:

$$\frac{(1 — 2ab)(1 + 2ab)}{1 + 2ab} + 2ab, \quad \text{где } ab = \sin t \cos t$$

Сократим:

$$1 — 2 \sin t \cos t + 2 \sin t \cos t = 1$$

Тождество доказано.