ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти значения остальных тригонометрических функций;

Выведем тождество:

$${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1;$$$${\cos }^{2}t=1-{\sin }^{2}t;$$$$\cos t=\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}t};$$

а) $\sin t=\frac{4}{5}$, где $\frac{\pi }{2}<t<\pi$;

Точка $t$ принадлежит второй четверти:

$$\cos t=-\sqrt{1-{\sin }^{2}t}=-\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=-\sqrt{\frac{25}{25}-\frac{16}{25}}=-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac{3}{5};$$$$\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=\frac{4}{5}:(-\frac{3}{5})=-\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{3}=-\frac{4}{3};$$$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\mathrm{tg}t}=\frac{1}{-\frac{4}{3}}=-\frac{3}{4};$$

Ответ: $\cos t=-\frac{3}{5};\mathrm{tg}t=-\frac{4}{3};\mathrm{ctg}t=-\frac{3}{4}\mathrm{.}$

б) $\sin t=\frac{5}{13}$, где $0<t<\frac{\pi }{2}$;

Точка $t$ принадлежит первой четверти:

$$\cos t=+\sqrt{1-{\sin }^{2}t}=\sqrt{1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2}=\sqrt{\frac{169}{169}-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13};$$$$\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=\frac{5}{13}:\frac{12}{13}=\frac{5}{13}\cdot \frac{13}{12}=\frac{5}{12};$$$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\mathrm{tg}t}=\frac{1}{\frac{5}{12}}=\frac{12}{5};$$

Ответ: $\cos t=\frac{12}{13};\mathrm{tg}t=\frac{5}{12};\mathrm{ctg}t=\frac{12}{5}\mathrm{.}$

в) $\sin t=-0.6$, где $-\frac{\pi }{2}<t<0$;

Точка $t$ принадлежит четвёртой четверти:

$$\cos t=+\sqrt{1-{\sin }^{2}t}=\sqrt{1-(-0.6{)}^2}=\sqrt{1-0.36}=\sqrt{0.64}=0.8;$$$$\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{-0.6}{0.8}=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4};$$$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\mathrm{tg}t}=\frac{1}{-\frac{3}{4}}=-\frac{4}{3};$$

Ответ: $\cos t=0.8;\mathrm{tg}t=-\frac{3}{4};\mathrm{ctg}t=-\frac{4}{3}\mathrm{.}$

г) $\sin t=-0.28$, где $\pi <t<\frac{3\pi }{2}$;

Точка $t$ принадлежит третьей четверти:

$$\sin t=-0.28=-\frac{28}{100}=-\frac{7}{25};$$$$\cos t=-\sqrt{1-{\sin }^{2}t}=-\sqrt{1-{\left(\frac{7}{25}\right)}^2}=-\sqrt{\frac{625}{625}-\frac{49}{625}}=-\sqrt{\frac{576}{625}}=-\frac{24}{25};$$$$\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{-\frac{7}{25}}{-\frac{24}{25}}=-\frac{7}{25}:(-\frac{24}{25})=-\frac{7}{25}\cdot \frac{25}{24}=\frac{7}{24};$$$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\mathrm{tg}t}=\frac{1}{\frac{7}{24}}=\frac{24}{7};$$

Ответ: $\cos t=-\frac{24}{25};\mathrm{tg}t=\frac{7}{24};\mathrm{ctg}t=\frac{24}{7}\mathrm{.}$

Для начала выведем основные тождества, которые будут нам необходимы для решения:

$${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1\text{(основное тригонометрическое тождество)}\mathrm{.}$$

Из этого тождества можно выразить косинус через синус:

$${\cos }^{2}t=1-{\sin }^{2}t\mathrm{.}$$

Соответственно, косинус можно выразить как:

$$\cos t=\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}t}\mathrm{.}$$

Знак зависит от того, в какой четверти находится угол $t$, так как в каждой четверти косинус имеет разный знак.

Теперь приступим к решению для каждого случая.

а) $\sin t=\frac{4}{5}$, где $\frac{\pi }{2}<t<\pi$

Точка $t$ принадлежит второй четверти (между $\frac{\pi }{2}$ и $\pi$).

1. Найдем значение косинуса:

Используем выражение для косинуса:

$$\cos t=\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}t}\mathrm{.}$$

Подставляем значение синуса:

$$\cos t=\pm \sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\pm \sqrt{1-\frac{16}{25}}=\pm \sqrt{\frac{25}{25}-\frac{16}{25}}=\pm \sqrt{\frac{9}{25}}=\pm \frac{3}{5}\mathrm{.}$$

Так как угол находится во второй четверти, где косинус отрицателен, то выбираем отрицательное значение:

$$\cos t=-\frac{3}{5}\mathrm{.}$$

2. Найдем тангенс:

Тангенс выражается как отношение синуса к косинусу:

$$\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}\mathrm{.}$$

Подставляем известные значения синуса и косинуса:

$$\mathrm{tg}t=\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{-3}=-\frac{4}{3}\mathrm{.}$$

3. Найдем котангенс:

Котангенс — это обратная величина тангенса:

$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\mathrm{tg}t}\mathrm{.}$$

Подставляем значение тангенса:

$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{-\frac{4}{3}}=-\frac{3}{4}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\cos t=-\frac{3}{5},\mathrm{tg}t=-\frac{4}{3},\mathrm{ctg}t=-\frac{3}{4}\mathrm{.}$$

б) $\sin t=\frac{5}{13}$, где $0<t<\frac{\pi }{2}$

Точка $t$ принадлежит первой четверти (между $0$ и $\frac{\pi }{2}$).

1. Найдем значение косинуса:

Используем выражение для косинуса:

$$\cos t=\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}t}\mathrm{.}$$

Подставляем значение синуса:

$$\cos t=+\sqrt{1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2}=+\sqrt{1-\frac{25}{169}}=+\sqrt{\frac{169}{169}-\frac{25}{169}}=+\sqrt{\frac{144}{169}}=+\frac{12}{13}\mathrm{.}$$

Так как угол находится в первой четверти, где косинус положителен, то выбираем положительное значение:

$$\cos t=\frac{12}{13}\mathrm{.}$$

2. Найдем тангенс:

Тангенс выражается как отношение синуса к косинусу:

$$\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}\mathrm{.}$$

Подставляем известные значения синуса и косинуса:

$$\mathrm{tg}t=\frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=\frac{5}{12}\mathrm{.}$$

3. Найдем котангенс:

Котангенс — это обратная величина тангенса:

$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\mathrm{tg}t}\mathrm{.}$$

Подставляем значение тангенса:

$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\frac{5}{12}}=\frac{12}{5}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\cos t=\frac{12}{13},\mathrm{tg}t=\frac{5}{12},\mathrm{ctg}t=\frac{12}{5}\mathrm{.}$$

в) $\sin t=-0.6$, где $-\frac{\pi }{2}<t<0$

Точка $t$ принадлежит четвертой четверти (между $-\frac{\pi }{2}$ и $0$).

1. Найдем значение косинуса:

Используем выражение для косинуса:

$$\cos t=\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}t}\mathrm{.}$$

Подставляем значение синуса:

$$\cos t=+\sqrt{1-(-0.6{)}^2}=+\sqrt{1-0.36}=+\sqrt{0.64}=\mathrm{0.8.}$$

Так как угол находится в четвертой четверти, где косинус положителен, выбираем положительное значение:

$$\cos t=\mathrm{0.8.}$$

2. Найдем тангенс:

Тангенс выражается как отношение синуса к косинусу:

$$\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}\mathrm{.}$$

Подставляем известные значения синуса и косинуса:

$$\mathrm{tg}t=\frac{-0.6}{0.8}=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}\mathrm{.}$$

3. Найдем котангенс:

Котангенс — это обратная величина тангенса:

$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\mathrm{tg}t}\mathrm{.}$$

Подставляем значение тангенса:

$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{-\frac{3}{4}}=-\frac{4}{3}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\cos t=0.8,\mathrm{tg}t=-\frac{3}{4},\mathrm{ctg}t=-\frac{4}{3}\mathrm{.}$$

г) $\sin t=-0.28$, где $\pi <t<\frac{3\pi }{2}$

Точка $t$ принадлежит третьей четверти (между $\pi$ и $\frac{3\pi }{2}$).

1. Найдем значение косинуса:

Используем выражение для косинуса:

$$\cos t=\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}t}\mathrm{.}$$

Подставляем значение синуса:

$$\cos t=-\sqrt{1-{\left(\frac{7}{25}\right)}^2}=-\sqrt{1-\frac{49}{625}}=-\sqrt{\frac{625}{625}-\frac{49}{625}}=-\sqrt{\frac{576}{625}}=-\frac{24}{25}\mathrm{.}$$

Так как угол находится в третьей четверти, где косинус отрицателен, выбираем отрицательное значение:

$$\cos t=-\frac{24}{25}\mathrm{.}$$

2. Найдем тангенс:

Тангенс выражается как отношение синуса к косинусу:

$$\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}\mathrm{.}$$

Подставляем известные значения синуса и косинуса:

$$\mathrm{tg}t=\frac{-\frac{7}{25}}{-\frac{24}{25}}=\frac{7}{24}\mathrm{.}$$

3. Найдем котангенс:

Котангенс — это обратная величина тангенса:

$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\mathrm{tg}t}\mathrm{.}$$

Подставляем значение тангенса:

$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\frac{7}{24}}=\frac{24}{7}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\cos t=-\frac{24}{25},\mathrm{tg}t=\frac{7}{24},\mathrm{ctg}t=\frac{24}{7}\mathrm{.}$$