ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти значения остальных тригонометрических функций;

Выведем доказательство:

$$1 + \operatorname{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t};$$ $$\sin^2 t = \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 t};$$ $$\sin t = \pm \sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 t}};$$

а) $\operatorname{ctg} t = \frac{12}{5}$, где $3\pi < t < \frac{7\pi}{2}$;

Точка $t$ принадлежит третьей четверти:

$$\sin t = -\sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 t}} = -\sqrt{\frac{1}{1 + \left(\frac{12}{5}\right)^2}} = -\sqrt{\frac{1}{\frac{25}{25} + \frac{144}{25}}} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13};$$ $$\cos t = \operatorname{ctg} t \cdot \sin t = \frac{12}{5} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{12}{13};$$ $$\tg t = \frac{1}{\operatorname{ctg} t} = \frac{5}{12};$$

Ответ: $\sin t = -\frac{5}{13}; \cos t = -\frac{12}{13}; \tg t = \frac{5}{12}.$

б) $\operatorname{ctg} t = \frac{7}{24}$, где $2\pi < t < \frac{5\pi}{2}$;

Точка $t$ принадлежит первой четверти:

$$\sin t = +\sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 t}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \left(\frac{7}{24}\right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{576}{576} + \frac{49}{576}}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25};$$ $$\cos t = \operatorname{ctg} t \cdot \sin t = \frac{7}{24} \cdot \frac{24}{25} = \frac{7}{25};$$ $$\tg t = \frac{1}{\operatorname{ctg} t} = \frac{24}{7};$$

Ответ: $\sin t = \frac{24}{25}; \cos t = \frac{7}{25}; \tg t = \frac{24}{7}.$

в) $\operatorname{ctg} t = -\frac{5}{12}$, где $\frac{7\pi}{2} < t < 4\pi$;

Точка $t$ принадлежит четвертой четверти:

$$\sin t = -\sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 t}} = -\sqrt{\frac{1}{1 + \left(\frac{5}{12}\right)^2}} = -\sqrt{\frac{1}{\frac{144}{144} + \frac{25}{144}}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13};$$ $$\cos t = \operatorname{ctg} t \cdot \sin t = -\frac{5}{12} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = \frac{5}{13};$$ $$\tg t = \frac{1}{\operatorname{ctg} t} = -\frac{12}{5};$$

Ответ: $\sin t = -\frac{12}{13}; \cos t = \frac{5}{13}; \tg t = -\frac{12}{5}.$

г) $\operatorname{ctg} t = -\frac{8}{15}$, где $\frac{5\pi}{2} < t < 3\pi$;

Точка $t$ принадлежит второй четверти:

$$\sin t = +\sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 t}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \left(\frac{8}{15}\right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{225}{225} + \frac{64}{225}}} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17};$$ $$\cos t = \operatorname{ctg} t \cdot \sin t = -\frac{8}{15} \cdot \frac{15}{17} = -\frac{8}{17};$$ $$\tg t = \frac{1}{\operatorname{ctg} t} = -\frac{15}{8};$$

Ответ: $\sin t=\frac{15}{17};\cos t=-\frac{8}{17};\mathrm{tg}t=-\frac{15}{8}\mathrm{.}$

Для начала вспомним основные тождества, которые нам понадобятся для решения задач:

Тождество для котангенса:

$$1 + \operatorname{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t},$$

из которого следует, что:

$$\sin^2 t = \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 t}.$$

Из этого выражения можем найти $\sin t$:

$$\sin t = \pm \sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 t}},$$

где знак зависит от того, в какой четверти находится угол $t$.

Косинус через котангенс:

$$\cos t = \operatorname{ctg} t \cdot \sin t.$$

Тангенс:
Тангенс $t$ выражается как обратная величина котангенса:

$$\operatorname{tg} t = \frac{1}{\operatorname{ctg} t}.$$

а) $\operatorname{ctg} t = \frac{12}{5}$, где $3\pi < t < \frac{7\pi}{2}$

Точка $t$ находится в третьей четверти, где и синус, и косинус отрицательны. Это означает, что и синус, и косинус будут отрицательными числами.

1. Найдем значение синуса:

Используем формулу для синуса:

$$\sin^2 t = \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 t}.$$

Подставляем $\operatorname{ctg} t = \frac{12}{5}$:

$$\sin^2 t = \frac{1}{1 + \left( \frac{12}{5} \right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{144}{25}} = \frac{1}{\frac{25}{25} + \frac{144}{25}} = \frac{1}{\frac{169}{25}} = \frac{25}{169}.$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\sin t = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}.$$

Знак минус, так как угол $t$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен.

2. Найдем значение косинуса:

Используем формулу для косинуса:

$$\cos t = \operatorname{ctg} t \cdot \sin t.$$

Подставляем $\operatorname{ctg} t = \frac{12}{5}$ и $\sin t = -\frac{5}{13}$:

$$\cos t = \frac{12}{5} \cdot \left( -\frac{5}{13} \right) = -\frac{12}{13}.$$

3. Найдем значение тангенса:

Тангенс — это обратная величина котангенса:

$$\tg t = \frac{1}{\operatorname{ctg} t} = \frac{5}{12}.$$

Ответ:

$$\sin t = -\frac{5}{13}; \quad \cos t = -\frac{12}{13}; \quad \tg t = \frac{5}{12}.$$

б) $\operatorname{ctg} t = \frac{7}{24}$, где $2\pi < t < \frac{5\pi}{2}$

Точка $t$ находится в первой четверти, где синус и косинус оба положительны. Это значит, что и синус, и косинус будут положительными числами.

1. Найдем значение синуса:

Используем формулу для синуса:

$$\sin^2 t = \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 t}.$$

Подставляем $\operatorname{ctg} t = \frac{7}{24}$:

$$\sin^2 t = \frac{1}{1 + \left( \frac{7}{24} \right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{49}{576}} = \frac{1}{\frac{576}{576} + \frac{49}{576}} = \frac{1}{\frac{625}{576}} = \frac{576}{625}.$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\sin t = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}.$$

Знак плюс, так как угол $t$ находится в первой четверти, где синус положителен.

2. Найдем значение косинуса:

Используем формулу для косинуса:

$$\cos t = \operatorname{ctg} t \cdot \sin t.$$

Подставляем $\operatorname{ctg} t = \frac{7}{24}$ и $\sin t = \frac{24}{25}$:

$$\cos t = \frac{7}{24} \cdot \frac{24}{25} = \frac{7}{25}.$$

3. Найдем значение тангенса:

Тангенс — это обратная величина котангенса:

$$\tg t = \frac{1}{\operatorname{ctg} t} = \frac{24}{7}.$$

Ответ:

$$\sin t = \frac{24}{25}; \quad \cos t = \frac{7}{25}; \quad \tg t = \frac{24}{7}.$$

в) $\operatorname{ctg} t = -\frac{5}{12}$, где $\frac{7\pi}{2} < t < 4\pi$

Точка $t$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен, а косинус положителен.

1. Найдем значение синуса:

Используем формулу для синуса:

$$\sin^2 t = \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 t}.$$

Подставляем $\operatorname{ctg} t = -\frac{5}{12}$:

$$\sin^2 t = \frac{1}{1 + \left( -\frac{5}{12} \right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{25}{144}} = \frac{1}{\frac{144}{144} + \frac{25}{144}} = \frac{1}{\frac{169}{144}} = \frac{144}{169}.$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\sin t = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}.$$

Знак минус, так как угол $t$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен.

2. Найдем значение косинуса:

Используем формулу для косинуса:

$$\cos t = \operatorname{ctg} t \cdot \sin t.$$

Подставляем $\operatorname{ctg} t = -\frac{5}{12}$ и $\sin t = -\frac{12}{13}$:

$$\cos t = -\frac{5}{12} \cdot \left( -\frac{12}{13} \right) = \frac{5}{13}.$$

3. Найдем значение тангенса:

Тангенс — это обратная величина котангенса:

$$\tg t = \frac{1}{\operatorname{ctg} t} = -\frac{12}{5}.$$

Ответ:

$$\sin t = -\frac{12}{13}; \quad \cos t = \frac{5}{13}; \quad \tg t = -\frac{12}{5}.$$

г) $\operatorname{ctg} t = -\frac{8}{15}$, где $\frac{5\pi}{2} < t < 3\pi$

Точка $t$ находится во второй четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен.

1. Найдем значение синуса:

Используем формулу для синуса:

$$\sin^2 t = \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 t}.$$

Подставляем $\operatorname{ctg} t = -\frac{8}{15}$:

$$\sin^2 t = \frac{1}{1 + \left( -\frac{8}{15} \right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{64}{225}} = \frac{1}{\frac{225}{225} + \frac{64}{225}} = \frac{1}{\frac{289}{225}} = \frac{225}{289}.$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\sin t = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}.$$

Знак плюс, так как угол $t$ находится во второй четверти, где синус положителен.

2. Найдем значение косинуса:

Используем формулу для косинуса:

$$\cos t = \operatorname{ctg} t \cdot \sin t.$$

Подставляем $\operatorname{ctg} t = -\frac{8}{15}$ и $\sin t = \frac{15}{17}$:

$$\cos t = -\frac{8}{15} \cdot \frac{15}{17} = -\frac{8}{17}.$$

3. Найдем значение тангенса:

Тангенс — это обратная величина котангенса:

$$\tg t = \frac{1}{\operatorname{ctg} t} = -\frac{15}{8}.$$

Ответ:

$$\sin t = \frac{15}{17}; \quad \cos t = -\frac{8}{17}; \quad \tg t = -\frac{15}{8}.$$