ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Дано: $\sin(4\pi + t) = \frac{3}{5}$, $0 < t < \frac{\pi}{2}$. Вычислите: $\mathrm{tg}(\pi -t).$

б) Дано: $\cos(2\pi + t) = \frac{12}{13}$, $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi. Вычислите:. Вычислите:$. Вычислите: $\mathrm{ctg}(\pi -t)$

а) $\sin(4\pi + t) = \frac{3}{5}$, где $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

Точка $t$ принадлежит первой четверти:

$$\sin t = \sin(t + 4\pi) = \frac{3}{5};$$ $$\cos t = +\sqrt{1 — \sin^2 t} = \sqrt{1 — \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$ $$\tg(\pi — t) = \tg(-t) = -\tg(t) = -\frac{\sin t}{\cos t} = -\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = -\frac{3}{4};$$

Ответ: $-\frac{3}{4}$.

б) $\cos(2\pi + t) = \frac{12}{13}$, где $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$;

Точка $t$ принадлежит четвертой четверти:

$$\cos t = \cos(t + 2\pi) = \frac{12}{13};$$ $$\sin t = -\sqrt{1 — \cos^2 t} = -\sqrt{1 — \left(\frac{12}{13}\right)^2} = -\sqrt{\frac{169}{169} — \frac{144}{169}} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13};$$ $$\operatorname{ctg}(\pi — t) = \operatorname{ctg}(-t) = -\operatorname{ctg}(t) = -\frac{\cos t}{\sin t} = -\frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = -\frac{12}{13} \cdot \left(-\frac{13}{5}\right) = \frac{12}{5};$$

Ответ: $\frac{12}{5}$.

а) $\sin(4\pi + t) = \frac{3}{5}$, где $0 < t < \frac{\pi}{2}$

Точка $t$ принадлежит первой четверти, где синус и косинус положительные.

1. Анализ $\sin(4\pi + t)$

Мы знаем, что функция синуса имеет период $2\pi$, то есть:

$$\sin(4\pi + t) = \sin t.$$

Это связано с тем, что $\sin$ — это периодическая функция с периодом $2\pi$, и прибавление $4\pi$ не меняет значения функции. Следовательно:

$$\sin(4\pi + t) = \sin t = \frac{3}{5}.$$

2. Найдем косинус $t$

Используя основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1,$$

мы можем выразить $\cos t$ через $\sin t$:

$$\cos^2 t = 1 — \sin^2 t = 1 — \left( \frac{3}{5} \right)^2 = 1 — \frac{9}{25} = \frac{16}{25}.$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\cos t = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}.$$

Поскольку $t$ находится в первой четверти, где косинус положителен, то:

$$\cos t = \frac{4}{5}.$$

3. Найдем тангенс $(\pi — t)$

Используем формулу для тангенса:

$$\tg(\pi — t) = \tg(-t) = -\tg(t),$$

где $\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$. Подставляем известные значения синуса и косинуса:

$$\tg t = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}.$$

Следовательно, $\tg(\pi — t) = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $-\frac{3}{4}$

б) $\cos(2\pi + t) = \frac{12}{13}$, где $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$

Точка $t$ принадлежит четвертой четверти, где косинус положителен, а синус отрицателен.

1. Анализ $\cos(2\pi + t)$

Так как $\cos$ — это периодическая функция с периодом $2\pi$, то:

$$\cos(2\pi + t) = \cos t.$$

Следовательно:

$$\cos t = \frac{12}{13}.$$

2. Найдем синус $t$

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Подставляем $\cos t = \frac{12}{13}$:

$$\sin^2 t = 1 — \cos^2 t = 1 — \left( \frac{12}{13} \right)^2 = 1 — \frac{144}{169} = \frac{25}{169}.$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\sin t = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}.$$

Знак минус, так как $t$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен.

3. Найдем котангенс $(\pi — t)$

Используем формулу для котангенса:

$$\operatorname{ctg}(\pi — t) = \operatorname{ctg}(-t) = -\operatorname{ctg}(t).$$

Котангенс $t$ выражается как:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}.$$

Подставляем найденные значения $\cos t = \frac{12}{13}$ и $\sin t = -\frac{5}{13}$:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = -\frac{12}{5}.$$

Следовательно, $\operatorname{ctg}(\pi — t) = \frac{12}{5}$.

Ответ: $\frac{12}{5}$

Итог:

а) $\sin(4\pi + t) = \frac{3}{5}$, где $0 < t < \frac{\pi}{2}$ — Ответ: $-\frac{3}{4}$.

б) $\cos(2\pi + t) = \frac{12}{13}$, где $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$ — Ответ: $\frac{12}{5}$.