ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Упростить выражение:

а) $(1-\sin t)(1+\sin t)=1+\sin t-\sin t-{\sin }^{2}t=1-{\sin }^{2}t=$

$=({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)-{\sin }^{2}t={\cos }^{2}t$

Ответ: ${\cos }^{2}t$.

б) ${\cos }^{2}t+1-{\sin }^{2}t={\cos }^{2}t+({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)-{\sin }^{2}t=2{\cos }^{2}t$

Ответ: $2{\cos }^{2}t$.

в) $(1-\cos t)(1+\cos t)=1+\cos t-\cos t-{\cos }^{2}t=1-{\cos }^{2}t=$

$=({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)-{\cos }^{2}t={\sin }^{2}t$

Ответ: ${\sin }^{2}t$.

г) ${\sin }^{2}t+2{\cos }^{2}t-1={\sin }^{2}t+2{\cos }^{2}t-({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)={\cos }^{2}t$

Ответ: ${\cos }^{2}t$.

В каждом из предложенных выражений будем использовать тригонометрические тождества, такие как ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$, и пошагово упрощать выражения.

а) $(1-\sin t)(1+\sin t)$

Раскрываем скобки:

Начнем с раскрытия скобок:

$$(1-\sin t)(1+\sin t)=1\cdot 1+1\cdot \sin t-\sin t\cdot 1-\sin t\cdot \sin t\mathrm{.}$$

Упрощаем:

$$=1+\sin t-\sin t-{\sin }^{2}t=1-{\sin }^{2}t\mathrm{.}$$

Используем тождество ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$:

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1.$$

Следовательно, $1-{\sin }^{2}t$ можно записать как:

$$1-{\sin }^{2}t={\cos }^{2}t\mathrm{.}$$

Ответ:

$${\cos }^{2}t\mathrm{.}$$

б) ${\cos }^{2}t+1-{\sin }^{2}t$

Переписываем выражение:

Запишем исходное выражение:

$${\cos }^{2}t+1-{\sin }^{2}t\mathrm{.}$$

Используем тождество ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$:

Воспользуемся тождеством:

$${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1.$$

Из этого можно выразить:

$${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1.$$

Тогда выражение ${\cos }^{2}t+1-{\sin }^{2}t$ можно переписать как:

$${\cos }^{2}t+({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)-{\sin }^{2}t={\cos }^{2}t+1-{\sin }^{2}t\mathrm{.}$$

Теперь у нас есть:

$$2{\cos }^{2}t\mathrm{.}$$

Ответ:

$$2{\cos }^{2}t\mathrm{.}$$

в) $(1-\cos t)(1+\cos t)$

Раскрываем скобки:

Начнем с раскрытия скобок:

$$(1-\cos t)(1+\cos t)=1\cdot 1+1\cdot \cos t-\cos t\cdot 1-\cos t\cdot \cos t\mathrm{.}$$

Упрощаем:

$$=1+\cos t-\cos t-{\cos }^{2}t=1-{\cos }^{2}t\mathrm{.}$$

Используем тождество ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$:

Используем тождество:

$${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1.$$

Следовательно, $1-{\cos }^{2}t$ можно записать как:

$$1-{\cos }^{2}t={\sin }^{2}t\mathrm{.}$$

Ответ:

$${\sin }^{2}t\mathrm{.}$$

г) ${\sin }^{2}t+2{\cos }^{2}t-1$

Переписываем выражение:

Запишем исходное выражение:

$${\sin }^{2}t+2{\cos }^{2}t-1.$$

Используем тождество ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$:

Применим тождество:

$${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1.$$

Таким образом, ${\sin }^{2}t$ можно выразить как:

$${\sin }^{2}t=1-{\cos }^{2}t\mathrm{.}$$

Подставим это в исходное выражение:

$$(1-{\cos }^{2}t)+2{\cos }^{2}t-1={\cos }^{2}t\mathrm{.}$$

Ответ:

$${\cos }^{2}t\mathrm{.}$$

Итоговое решение:

а) $(1-\sin t)(1+\sin t)={\cos }^{2}t$

б) ${\cos }^{2}t+1-{\sin }^{2}t=2{\cos }^{2}t$

в) $(1-\cos t)(1+\cos t)={\sin }^{2}t$

г) ${\sin }^{2}t+2{\cos }^{2}t-1={\cos }^{2}t$