ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $\sin t \cdot \cos t = -\frac{12}{49}$, найти:

a) $tg t + ctg t$;

$tg t + ctg t = \frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cdot \cos t} = \frac{1}{\sin t \cdot \cos t} = -\frac{49}{12};$

Ответ: $-\frac{49}{12}$.

б) $tg^2 t + ctg^2 t$;

Значение суммы:
$tg t + ctg t = \frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cdot \cos t} = \frac{1}{\sin t \cdot \cos t} = -\frac{49}{12};$

Значение суммы квадратов:
$tg^2 t + ctg^2 t + 2 \cdot tg t \cdot ctg t = (tg t + ctg t)^2 = \left( -\frac{49}{12} \right)^2 = \frac{2401}{144};$
$tg^2 t + ctg^2 t = \frac{2401}{144} — 2 \cdot tg t \cdot ctg t = \frac{2401}{144} — 2 = \frac{2401}{144} — \frac{288}{144} = \frac{2113}{144};$

Ответ: $\frac{2113}{144}$.

Дано:

$$\sin t \cdot \cos t = -\frac{12}{49}.$$

Необходимо найти:

a) $tg t + ctg t$,
б) $tg^2 t + ctg^2 t$.

Часть (a): Найдем $tg t + ctg t$

Мы знаем, что:

$$tg t = \frac{\sin t}{\cos t}, \quad ctg t = \frac{\cos t}{\sin t}.$$

Тогда, выражение для суммы $tg t + ctg t$ можно записать как:

$$tg t + ctg t = \frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}.$$

Приведем к общему знаменателю:

$$tg t + ctg t = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cdot \cos t}.$$

Из тригонометрической идентичности знаем, что:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Таким образом, выражение для суммы превращается в:

$$tg t + ctg t = \frac{1}{\sin t \cdot \cos t}.$$

Из условия задачи известно, что:

$$\sin t \cdot \cos t = -\frac{12}{49}.$$

Подставляем это значение в выражение:

$$tg t + ctg t = \frac{1}{-\frac{12}{49}} = -\frac{49}{12}.$$

Ответ:

$$tg t + ctg t = -\frac{49}{12}.$$

Часть (б): Найдем $tg^2 t + ctg^2 t$

Для начала вспомним, что $tg^2 t$ и $ctg^2 t$ — это квадраты $tg t$ и $ctg t$, то есть:

$$tg^2 t + ctg^2 t = \left( \frac{\sin t}{\cos t} \right)^2 + \left( \frac{\cos t}{\sin t} \right)^2.$$

Это выражение можно привести к более удобному виду:

$$tg^2 t + ctg^2 t = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} + \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}.$$

Для упрощения объединим эти дроби. Приведем их к общему знаменателю:

$$tg^2 t + ctg^2 t = \frac{\sin^4 t + \cos^4 t}{\sin^2 t \cos^2 t}.$$

Теперь разложим числитель:

$$\sin^4 t + \cos^4 t = (\sin^2 t + \cos^2 t)^2 — 2 \sin^2 t \cos^2 t.$$

Используем тригонометрическую идентичность $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$$\sin^4 t + \cos^4 t = 1 — 2 \sin^2 t \cos^2 t.$$

Таким образом:

$$tg^2 t + ctg^2 t = \frac{1 — 2 \sin^2 t \cos^2 t}{\sin^2 t \cos^2 t}.$$

Теперь подставим значение $\sin t \cdot \cos t = -\frac{12}{49}$. Площадь произведения синуса и косинуса в квадрате:

$$\sin^2 t \cos^2 t = \left( -\frac{12}{49} \right)^2 = \frac{144}{2401}.$$

Тогда выражение для $tg^2 t + ctg^2 t$ примет вид:

$$tg^2 t + ctg^2 t = \frac{1 — 2 \cdot \frac{144}{2401}}{\frac{144}{2401}} = \frac{1 — \frac{288}{2401}}{\frac{144}{2401}} = \frac{\frac{2401}{2401} — \frac{288}{2401}}{\frac{144}{2401}} = \frac{\frac{2113}{2401}}{\frac{144}{2401}}.$$

Теперь упростим:

$$tg^2 t + ctg^2 t = \frac{2113}{144}.$$

Ответ:

$$tg^2 t + ctg^2 t = \frac{2113}{144}.$$

Итак, ответы на обе части задачи:

1. $tg t + ctg t = -\frac{49}{12}$,
2. $tg^2 t + ctg^2 t = \frac{2113}{144}$.