ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.26 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

a) Вычислите tg t, если известно, что

$$\frac{{\sin t + 3 \cos t}}{{\sin t — 3 \cos t}} = 4.$$

б) Вычислите ctg t, если известно, что

$$\frac{{2 \sin t — 3 \cos t}}{{2 \cos t — 3 \sin t}} = 3.$$

a)

$$\frac{\sin t+3\cos t}{\sin t-3\cos t}=4;$$

$$\frac{\sin t + 3 \cos t}{\sin t — 3 \cos t} = 4;$$ $$\sin t+3\cos t=4(\sin t-3\cos t);$$

$$\sin t + 3 \cos t = 4 (\sin t — 3 \cos t);$$ $$\sin t+3\cos t=4\sin t-12\cos t;$$

$$\sin t + 3 \cos t = 4 \sin t — 12 \cos t;$$ $$3\sin t-15\cos t=0;$$

$$3 \sin t — 15 \cos t = 0;$$ $$\sin t-5\cos t=0;$$

$$\sin t — 5 \cos t = 0;$$ $$\frac{\sin t}{\cos t}-\frac{5\cos t}{\cos t}=0;$$

$$\frac{\sin t}{\cos t} — \frac{5 \cos t}{\cos t} = 0;$$ $$\mathrm{tg}t-5=0;$$

$$\tg t — 5 = 0;$$ $$\tg t = 5;$$

Ответ: $5$.

б)

$$\frac{2\sin t-3\cos t}{2\cos t-3\sin t}=3;$$

$$\frac{2 \sin t — 3 \cos t}{2 \cos t — 3 \sin t} = 3;$$ $$2\sin t-3\cos t=3(2\cos t-3\sin t);$$

$$2 \sin t — 3 \cos t = 3 (2 \cos t — 3 \sin t);$$ $$2\sin t-3\cos t=6\cos t-9\sin t;$$

$$2 \sin t — 3 \cos t = 6 \cos t — 9 \sin t;$$ $$11\sin t-9\cos t=0;$$

$$11 \sin t — 9 \cos t = 0;$$ $$\frac{11\sin t}{\sin t}-\frac{9\cos t}{\sin t}=0;$$

$$\frac{11 \sin t}{\sin t} — \frac{9 \cos t}{\sin t} = 0;$$ $$11-9\mathrm{ctg}t=0;$$

$$11 — 9 \ctg t = 0;$$ $$\ctg t = \frac{11}{9};$$

Ответ: $\frac{11}{9}$.

Задание а)

Исходное выражение:

$$\frac{\sin t + 3 \cos t}{\sin t — 3 \cos t} = 4$$

Умножаем обе части уравнения на $\sin t — 3 \cos t$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$\sin t + 3 \cos t = 4 (\sin t — 3 \cos t)$$

Распределяем $4$ на скобки в правой части:

$$\sin t + 3 \cos t = 4 \sin t — 12 \cos t$$

Переносим все слагаемые, содержащие $\sin t$ и $\cos t$, на одну сторону уравнения:

$$\sin t — 4 \sin t + 3 \cos t + 12 \cos t = 0$$

Собираем подобные слагаемые:

$$-3 \sin t + 15 \cos t = 0$$

Переносим одно из слагаемых на другую сторону уравнения:

$$3 \sin t = 15 \cos t$$

Делим обе части уравнения на 3, чтобы упростить:

$$\sin t = 5 \cos t$$

Делим обе части уравнения на $\cos t$, чтобы выразить $\tan t$:

$$\frac{\sin t}{\cos t} = 5$$

Используем определение тангенса ($\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}$):

$$\tan t = 5$$

Ответ: $\boxed{5}$

Задание б)

Исходное выражение:

$$\frac{2 \sin t — 3 \cos t}{2 \cos t — 3 \sin t} = 3$$

Умножаем обе части уравнения на $(2 \cos t — 3 \sin t)$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$2 \sin t — 3 \cos t = 3 (2 \cos t — 3 \sin t)$$

Распределяем $3$ на скобки в правой части:

$$2 \sin t — 3 \cos t = 6 \cos t — 9 \sin t$$

Переносим все слагаемые, содержащие $\sin t$ и $\cos t$, на одну сторону уравнения:

$$2 \sin t + 9 \sin t — 3 \cos t — 6 \cos t = 0$$

Собираем подобные слагаемые:

$$11 \sin t — 9 \cos t = 0$$

Переносим одно из слагаемых на другую сторону уравнения:

$$11 \sin t = 9 \cos t$$

Делим обе части уравнения на $\sin t$, чтобы выразить $\ctg t$ (косеканс):

$$11 = 9 \frac{\cos t}{\sin t}$$

Используем определение котангенса ($\ctg t = \frac{\cos t}{\sin t}$):

$$11 = 9 \ctg t$$

Решаем для $\ctg t$:

$$\ctg t = \frac{11}{9}$$

Ответ: $\boxed{\frac{11}{9}}$