ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Зная, что $\operatorname{tg} t = a$, найти:

а) $\cos^4 t = (\cos^2 t)^2 = \left( \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 t} \right)^2 = \left( \frac{1}{1 + a^2} \right)^2 = \frac{1}{(1 + a^2)^2};$

Ответ: $\frac{1}{(1 + a^2)^2}$.

б) $\sin t \cdot \cos t = \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \cos^2 t = \operatorname{tg} t \cdot \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 t} = \frac{a}{1 + a^2};$

Ответ: $\frac{a}{1 + a^2}$.

в) $\sin^4 t = (\sin^2 t)^2 = \left( \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 t} \right)^2 = \left( \frac{1}{1 + \frac{1}{\operatorname{tg}^2 t}} \right)^2 = \left( \frac{1}{1 + \frac{1}{a^2}} \right)^2 = \left( \frac{a^2}{a^2 + 1} \right)^2 = \frac{a^4}{(1 + a^2)^2};$

Ответ: $\frac{a^4}{(1 + a^2)^2}$.

г) $\sin^3 t \cdot \cos t = \frac{\sin^3 t}{\cos^3 t} \cdot \cos^4 t = \operatorname{tg}^3 t \cdot \left( \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 t} \right)^2 = \frac{a^3}{(1 + a^2)^2};$

Ответ: $\frac{a^3}{(1 + a^2)^2}$.

Задано, что $\operatorname{tg} t = a$, где $a$ — это тангенс угла $t$. Нашей задачей будет выразить различные функции $\sin t$, $\cos t$, и их степени через $a$, а также вычислить их конкретные значения.

а) $\cos^4 t$

Мы начинаем с выражения для $\cos^4 t$, которое равно $(\cos^2 t)^2$. Переходим к вычислениям:

Формула для $\cos^2 t$:

Из основной тригонометрической тождества:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Мы можем выразить $\cos^2 t$ через $\sin^2 t$:

$$\cos^2 t = 1 — \sin^2 t.$$

Используем тангенс:

Тангенс угла $t$ определен как:

$$\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}.$$

Из этого можно выразить $\sin t$ через $\cos t$:

$$\sin t = \operatorname{tg} t \cdot \cos t = a \cdot \cos t.$$

Подставим это в формулу для $\cos^2 t$:

$$\cos^2 t = 1 — (a \cdot \cos t)^2 = 1 — a^2 \cdot \cos^2 t.$$

Теперь решаем это уравнение для $\cos^2 t$. Переносим все слагаемые, содержащие $\cos^2 t$, в одну сторону:

$$\cos^2 t + a^2 \cdot \cos^2 t = 1,$$ $$\cos^2 t (1 + a^2) = 1,$$ $$\cos^2 t = \frac{1}{1 + a^2}.$$

Вычисляем $\cos^4 t$:

Теперь, когда у нас есть выражение для $\cos^2 t$, мы можем найти $\cos^4 t$, возведя $\cos^2 t$ в квадрат:

$$\cos^4 t = \left( \frac{1}{1 + a^2} \right)^2 = \frac{1}{(1 + a^2)^2}.$$

Ответ для пункта а):

$$\cos^4 t = \frac{1}{(1 + a^2)^2}.$$

б) $\sin t \cdot \cos t$

Теперь рассмотрим выражение для произведения $\sin t \cdot \cos t$. Исходное выражение:

$$\sin t \cdot \cos t.$$

Используем тот факт, что $\operatorname{tg} t = a$, то есть $\sin t = a \cdot \cos t$. Тогда:

$$\sin t \cdot \cos t = (a \cdot \cos t) \cdot \cos t = a \cdot \cos^2 t.$$

Теперь подставим выражение для $\cos^2 t$ из пункта а):

$$\cos^2 t = \frac{1}{1 + a^2}.$$

Получаем:

$$\sin t \cdot \cos t = a \cdot \frac{1}{1 + a^2} = \frac{a}{1 + a^2}.$$

Ответ для пункта б):

$$\sin t \cdot \cos t = \frac{a}{1 + a^2}.$$

в) $\sin^4 t$

Теперь переходим к вычислению $\sin^4 t$. Начнем с выражения для $\sin^2 t$:

Выражаем $\sin^2 t$:

Так как $\operatorname{tg} t = a$, то:

$$\sin t = a \cdot \cos t.$$

Следовательно:

$$\sin^2 t = (a \cdot \cos t)^2 = a^2 \cdot \cos^2 t.$$

Подставим выражение для $\cos^2 t$ из пункта а):

$$\sin^2 t = a^2 \cdot \frac{1}{1 + a^2} = \frac{a^2}{1 + a^2}.$$

Вычисляем $\sin^4 t$:

Теперь возведем $\sin^2 t$ в квадрат:

$$\sin^4 t = \left( \frac{a^2}{1 + a^2} \right)^2 = \frac{a^4}{(1 + a^2)^2}.$$

Ответ для пункта в):

$$\sin^4 t = \frac{a^4}{(1 + a^2)^2}.$$

г) $\sin^3 t \cdot \cos t$

Наконец, рассмотрим $\sin^3 t \cdot \cos t$. Начнем с того, что можем выразить $\sin^3 t$ через $\sin t$ и $\cos t$:

Выражаем $\sin^3 t$:

Мы уже знаем, что $\sin t = a \cdot \cos t$. Тогда:

$$\sin^3 t = (a \cdot \cos t)^3 = a^3 \cdot \cos^3 t.$$

Теперь, умножим это на $\cos t$:

$$\sin^3 t \cdot \cos t = a^3 \cdot \cos^3 t \cdot \cos t = a^3 \cdot \cos^4 t.$$

Подставляем выражение для $\cos^4 t$:

Из пункта а) мы знаем, что:

$$\cos^4 t = \left( \frac{1}{1 + a^2} \right)^2 = \frac{1}{(1 + a^2)^2}.$$

Таким образом:

$$\sin^3 t \cdot \cos t = a^3 \cdot \frac{1}{(1 + a^2)^2} = \frac{a^3}{(1 + a^2)^2}.$$

Ответ для пункта г):

$$\sin^3 t \cdot \cos t = \frac{a^3}{(1 + a^2)^2}.$$

Итоговые ответы:

а) $\frac{1}{(1 + a^2)^2}$
б) $\frac{a}{1 + a^2}$
в) $\frac{a^4}{(1 + a^2)^2}$
г) $\frac{a^3}{(1 + a^2)^2}$