ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.30 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Зная, что $\operatorname{ctg} t = a$, найти:

а) $2 \sin^2 t + 3 \cos^2 t = \left( \frac{2 \sin^2 t}{\sin^2 t} + \frac{3 \cos^2 t}{\sin^2 t} \right) \cdot \sin^2 t =$

$= (2 + 3 \operatorname{ctg}^2 t) \cdot \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 t} = \frac{2 + 3a^2}{1 + a^2};$

Ответ: $\frac{2 + 3a^2}{1 + a^2}$.

б) $2 \sin^2 t — 3 \sin t \cdot \cos t — 5 \cos^2 t =$

$= \left( \frac{2 \sin^2 t}{\sin^2 t} — \frac{3 \sin t \cdot \cos t}{\sin^2 t} — \frac{5 \cos^2 t}{\sin^2 t} \right) \cdot \sin^2 t =$

$= (2 — 3 \operatorname{ctg} t — 5 \operatorname{ctg}^2 t) \cdot \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 t} = \frac{2 — 3a — 5a^2}{1 + a^2};$

Ответ: $\frac{2 — 3a — 5a^2}{1 + a^2}$.

Зная, что $\operatorname{ctg} t = a$, найти:

а) $2 \sin^2 t + 3 \cos^2 t$

Заменим $\cos^2 t$ через $\sin^2 t$ и $\operatorname{ctg} t$:

Из тригонометрической тождественной зависимости:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t},$$

и следовательно:

$$\cos t = \operatorname{ctg} t \cdot \sin t = a \cdot \sin t.$$

Подставим это в выражение для $\cos^2 t$:

$$\cos^2 t = a^2 \sin^2 t.$$

Теперь подставим $\cos^2 t$ в исходное выражение:

Нам нужно найти:

$$2 \sin^2 t + 3 \cos^2 t.$$

Подставляем $\cos^2 t = a^2 \sin^2 t$:

$$2 \sin^2 t + 3 \cdot (a^2 \sin^2 t) = 2 \sin^2 t + 3a^2 \sin^2 t.$$

Вынесем $\sin^2 t$ за скобки:

$$= \sin^2 t \cdot (2 + 3a^2).$$

Теперь упростим:

Мы знаем, что:

$$1 + \operatorname{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t},$$

то есть:

$$\sin^2 t = \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 t}.$$

Подставляем это в выражение:

$$2 \sin^2 t + 3 \cos^2 t = (2 + 3a^2) \cdot \frac{1}{1 + a^2}.$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{2 + 3a^2}{1 + a^2}}.$$

б) $2 \sin^2 t — 3 \sin t \cdot \cos t — 5 \cos^2 t$

Начнем с того, что подставим $\cos t = a \cdot \sin t$ и $\cos^2 t = a^2 \sin^2 t$:

Из выражения $2 \sin^2 t — 3 \sin t \cdot \cos t — 5 \cos^2 t$ подставляем:

$$2 \sin^2 t — 3 \sin t \cdot (a \sin t) — 5 \cdot (a^2 \sin^2 t) = 2 \sin^2 t — 3a \sin^2 t — 5a^2 \sin^2 t.$$

Вынесем $\sin^2 t$ за скобки:

$$= \sin^2 t \cdot (2 — 3a — 5a^2).$$

Теперь подставим $\sin^2 t = \frac{1}{1 + a^2}$:

Получаем:

$$2 \sin^2 t — 3 \sin t \cdot \cos t — 5 \cos^2 t = (2 — 3a — 5a^2) \cdot \frac{1}{1 + a^2}.$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{2 — 3a — 5a^2}{1 + a^2}}.$$

Таким образом, мы получили ответы для обеих частей задачи:

а) $\frac{2 + 3a^2}{1 + a^2}$.

б) $\frac{2 — 3a — 5a^2}{1 + a^2}$.