ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.36 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Дано: $f(x) = 2x^2 — x + 1$. Докажите, что $f(\sin x) = 3 — 2\cos^2 x — \sin x$.

б) Дано: $f(x) = 3x^2 + 2x — 7$. Докажите, что $f(\sin x) = 2\sin x — 3\cos^2 x — 4$.

а) Пусть $f(x) = 2x^2 — x + 1$, тогда:

$$f(\sin x) = 2 \sin^2 x — \sin x + 1 = 2(1 — \cos^2 x) — \sin x + 1;$$ $$f(\sin x) = 2 — 2 \cos^2 x — \sin x + 1 = 3 — 2 \cos^2 x — \sin x;$$

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $f(x) = 3x^2 + 2x — 7$, тогда:

$$f(\sin x) = 3 \sin^2 x + 2 \sin x — 7 = 3(1 — \cos^2 x) + 2 \sin x — 7;$$ $$f(\sin x) = 3 — 3 \cos^2 x + 2 \sin x — 7 = 2 \sin x — 3 \cos^2 x — 4;$$

Что и требовалось доказать.

а) Дано:

$$f(x) = 2x^2 — x + 1$$

Нужно доказать, что:

$$f(\sin x) = 3 — 2 \cos^2 x — \sin x$$

Шаг 1: Подставим $\sin x$ вместо $x$ в функцию $f(x)$

Мы начинаем с того, что подставляем $\sin x$ вместо $x$ в выражение для функции $f(x)$:

$$f(\sin x) = 2(\sin x)^2 — \sin x + 1$$

Шаг 2: Преобразуем выражение для $f(\sin x)$

Используем известное тождество для синуса, $\sin^2 x = 1 — \cos^2 x$, чтобы заменить $\sin^2 x$ в выражении:

$$f(\sin x) = 2(1 — \cos^2 x) — \sin x + 1$$

Теперь раскроем скобки:

$$f(\sin x) = 2 \cdot 1 — 2 \cdot \cos^2 x — \sin x + 1$$

Приводим подобные:

$$f(\sin x) = 2 — 2 \cos^2 x — \sin x + 1$$

Шаг 3: Упростим выражение

Теперь просто складываем числа:

$$f(\sin x) = 3 — 2 \cos^2 x — \sin x$$

Это и есть требуемое выражение. Таким образом, мы доказали, что:

$$f(\sin x) = 3 — 2 \cos^2 x — \sin x$$

Что и требовалось доказать.

б) Дано:

$$f(x) = 3x^2 + 2x — 7$$

Нужно доказать, что:

$$f(\sin x) = 2 \sin x — 3 \cos^2 x — 4$$

Шаг 1: Подставим $\sin x$ вместо $x$ в функцию $f(x)$

Подставим $\sin x$ в функцию $f(x)$:

$$f(\sin x) = 3(\sin x)^2 + 2 \sin x — 7$$

Шаг 2: Используем тождество для $\sin^2 x$

Заменим $\sin^2 x$ на $1 — \cos^2 x$ (из тригонометрического тождества):

$$f(\sin x) = 3(1 — \cos^2 x) + 2 \sin x — 7$$

Шаг 3: Раскроем скобки

Теперь раскроем скобки:

$$f(\sin x) = 3 \cdot 1 — 3 \cdot \cos^2 x + 2 \sin x — 7$$

Приводим подобные:

$$f(\sin x) = 3 — 3 \cos^2 x + 2 \sin x — 7$$

Шаг 4: Упростим выражение

Теперь приведем константы:

$$f(\sin x) = (3 — 7) + 2 \sin x — 3 \cos^2 x$$ $$f(\sin x) = -4 + 2 \sin x — 3 \cos^2 x$$

Это и есть требуемое выражение. Таким образом, мы доказали, что:

$$f(\sin x) = 2 \sin x — 3 \cos^2 x — 4$$

Что и требовалось доказать.