ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.38 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Дана функция:
$y = f(x), \text{ где } f(x) = x^2 + 1;$

а) Доказать, что $f(\operatorname{tg} x) = \frac{1}{\cos^2 x}$;
$f(\operatorname{tg} x) = \operatorname{tg}^2 x + 1 = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 1 = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x};$
Что и требовалось доказать.

б) Доказать, что $f(\operatorname{ctg} x) = \frac{1}{\sin^2 x}$;
$f(\operatorname{ctg} x) = \operatorname{ctg}^2 x + 1 = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} + 1 = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x};$
Что и требовалось доказать.

Дана функция:

$$y = f(x), \text{ где } f(x) = x^2 + 1$$

Нам нужно доказать два равенства, которые приведены в условии.

а) Доказать, что $f(\operatorname{tg} x) = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Начнем с того, что $f(x) = x^2 + 1$, то есть для любого $x$, подставив его в функцию $f(x)$, мы получаем $f(x) = x^2 + 1$.

Теперь, подставим $\operatorname{tg} x$ в функцию $f(x)$. Получим:

$$f(\operatorname{tg} x) = (\operatorname{tg} x)^2 + 1$$

Вспомним, что $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Тогда:

$$(\operatorname{tg} x)^2 = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$$

Подставляем это выражение в нашу формулу для $f(\operatorname{tg} x)$:

$$f(\operatorname{tg} x) = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 1$$

Приведем к общему знаменателю:

$$f(\operatorname{tg} x) = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x}$$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$$f(\operatorname{tg} x) = \frac{1}{\cos^2 x}$$

Что и требовалось доказать.

б) Доказать, что $f(\operatorname{ctg} x) = \frac{1}{\sin^2 x}$.

Как и в первом случае, мы знаем, что $f(x) = x^2 + 1$. Теперь подставим $\operatorname{ctg} x$ в эту функцию:

$$f(\operatorname{ctg} x) = (\operatorname{ctg} x)^2 + 1$$

Напоминаем, что $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$, тогда:

$$(\operatorname{ctg} x)^2 = \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^2 = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$$

Подставляем это выражение в нашу формулу для $f(\operatorname{ctg} x)$:

$$f(\operatorname{ctg} x) = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} + 1$$

Приводим к общему знаменателю:

$$f(\operatorname{ctg} x) = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\sin^2 x}$$

Используем снова основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$$f(\operatorname{ctg} x) = \frac{1}{\sin^2 x}$$

Что и требовалось доказать.